Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59424 / 26656
↖ ↑ ↗
← N 31.802893°
E146.425781°		 ← 519.14 m → N 31.802893°
E146.431275°		 →
↑
519.11 m
↓
↑
519.11 m
↓
N 31.798224°
E146.425781°		 ← 519.17 m →
269 498 m²		 N 31.798224°
E146.431275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906745910644531 y=0.406745910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906745910644531 × 216)
    floor (0.906745910644531 × 65536)
    floor (59424.5)     		tx = 59424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406745910644531 × 216)
    floor (0.406745910644531 × 65536)
    floor (26656.5)     		ty = 26656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59424 / 26656 ti = "16/59424/26656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59424/26656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59424 ÷ 216
    59424 ÷ 65536     		x = 0.90673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26656 ÷ 216
    26656 ÷ 65536     		y = 0.40673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90673828125 × 2 - 1) × π
    0.8134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55561199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    0.1865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.585980660955566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55561199} λ = 2.55561199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585980660955566))-π/2
    2×atan(1.79675212661507)-π/2
    2×1.0629307570384-π/2
    2.12586151407679-1.57079632675     		φ = 0.55506519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55561199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55506519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.802893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59424 KachelY 26656 2.55561199 0.55506519 146.425781 31.802893
    Oben rechts KachelX + 1 59425 KachelY 26656 2.55570787 0.55506519 146.431275 31.802893
    Unten links KachelX 59424 KachelY + 1 26657 2.55561199 0.55498371 146.425781 31.798224
    Unten rechts KachelX + 1 59425 KachelY + 1 26657 2.55570787 0.55498371 146.431275 31.798224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55506519-0.55498371) × R
    8.14799999999671e-05 × 6371000     		dl = 519.109079999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55506519-0.55498371) × R
    8.14799999999671e-05 × 6371000     		dr = 519.109079999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55561199-2.55570787) × cos(0.55506519) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.849866087030189 × 6371000     		do = 519.141957063859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55561199-2.55570787) × cos(0.55498371) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.849909024063425 × 6371000     		du = 519.168185214158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55506519)-sin(0.55498371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849866087030189-0.849909024063425)×R²
    abs(2.55570787-2.55561199)×4.29370332356571e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.29370332356571e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.29370332356571e-05×40589641000000     		ar = 269498.111505347m²