Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59904 / 10752
↖ ↑ ↗
← N 76.184995°
E149.062500°		 ← 145.85 m → N 76.184995°
E149.067993°		 →
↑
145.83 m
↓
↑
145.83 m
↓
N 76.183684°
E149.062500°		 ← 145.86 m →
21 270 m²		 N 76.183684°
E149.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914070129394531 y=0.164070129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914070129394531 × 216)
    floor (0.914070129394531 × 65536)
    floor (59904.5)     		tx = 59904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164070129394531 × 216)
    floor (0.164070129394531 × 65536)
    floor (10752.5)     		ty = 10752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59904 / 10752 ti = "16/59904/10752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59904/10752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59904 ÷ 216
    59904 ÷ 65536     		x = 0.9140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10752 ÷ 216
    10752 ÷ 65536     		y = 0.1640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9140625 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60163142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1640625 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11075756407031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60163142} λ = 2.60163142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11075756407031))-π/2
    2×atan(8.25449222331149)-π/2
    2×1.45023766909548-π/2
    2.90047533819095-1.57079632675     		φ = 1.32967901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60163142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32967901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.184995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59904 KachelY 10752 2.60163142 1.32967901 149.062500 76.184995
    Oben rechts KachelX + 1 59905 KachelY 10752 2.60172729 1.32967901 149.067993 76.184995
    Unten links KachelX 59904 KachelY + 1 10753 2.60163142 1.32965612 149.062500 76.183684
    Unten rechts KachelX + 1 59905 KachelY + 1 10753 2.60172729 1.32965612 149.067993 76.183684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32967901-1.32965612) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dl = 145.832189999278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32967901-1.32965612) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dr = 145.832189999278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60163142-2.60172729) × cos(1.32967901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238787770060559 × 6371000     		do = 145.848649578558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60163142-2.60172729) × cos(1.32965612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238809997831032 × 6371000     		du = 145.862226028918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32967901)-sin(1.32965612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238787770060559-0.238809997831032)×R²
    abs(2.60172729-2.60163142)×2.2227770473171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2227770473171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2227770473171e-05×40589641000000     		ar = 21270.4179189874m²