Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6016 / 10112
↖ ↑ ↗
← S 38.822591°
W 47.812500°		 ← 1 903.54 m → S 38.822591°
W 47.790527°		 →
↑
1 903.27 m
↓
↑
1 903.27 m
↓
S 38.839708°
W 47.812500°		 ← 1 903.08 m →
3 622 512 m²		 S 38.839708°
W 47.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367218017578125 y=0.617218017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367218017578125 × 214)
    floor (0.367218017578125 × 16384)
    floor (6016.5)     		tx = 6016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617218017578125 × 214)
    floor (0.617218017578125 × 16384)
    floor (10112.5)     		ty = 10112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6016 / 10112 ti = "14/6016/10112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6016/10112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6016 ÷ 214
    6016 ÷ 16384     		x = 0.3671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10112 ÷ 214
    10112 ÷ 16384     		y = 0.6171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3671875 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6171875 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83448555} λ = -0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736310778164063))-π/2
    2×atan(0.478877345438407)-π/2
    2×0.446607145060981-π/2
    0.893214290121963-1.57079632675     		φ = -0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6016 KachelY 10112 -0.83448555 -0.67758204 -47.812500 -38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 6017 KachelY 10112 -0.83410205 -0.67758204 -47.790527 -38.822591
    Unten links KachelX 6016 KachelY + 1 10113 -0.83448555 -0.67788078 -47.812500 -38.839708
    Unten rechts KachelX + 1 6017 KachelY + 1 10113 -0.83410205 -0.67788078 -47.790527 -38.839708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67758204--0.67788078) × R
    0.000298739999999964 × 6371000     		dl = 1903.27253999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67758204--0.67788078) × R
    0.000298739999999964 × 6371000     		dr = 1903.27253999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83448555--0.83410205) × cos(-0.67758204) × R
    0.000383499999999981 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 1903.53590038372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83448555--0.83410205) × cos(-0.67788078) × R
    0.000383499999999981 × 0.778903522430651 × 6371000     		du = 1903.07822992898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67758204)-sin(-0.67788078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.778903522430651)×R²
    abs(-0.83410205--0.83448555)×0.000187318168900941×R²
    0.000383499999999981×0.000187318168900941×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187318168900941×40589641000000     		ar = 3622512.09924055m²