Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6020 / 10116
↖ ↑ ↗
← S 38.891033°
W 47.724610°		 ← 1 901.70 m → S 38.891033°
W 47.702637°		 →
↑
1 901.49 m
↓
↑
1 901.49 m
↓
S 38.908133°
W 47.724610°		 ← 1 901.25 m →
3 615 635 m²		 S 38.908133°
W 47.702637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367462158203125 y=0.617462158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367462158203125 × 214)
    floor (0.367462158203125 × 16384)
    floor (6020.5)     		tx = 6020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617462158203125 × 214)
    floor (0.617462158203125 × 16384)
    floor (10116.5)     		ty = 10116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6020 / 10116 ti = "14/6020/10116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6020/10116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6020 ÷ 214
    6020 ÷ 16384     		x = 0.367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10116 ÷ 214
    10116 ÷ 16384     		y = 0.617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83295157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.23486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.737844758951904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83295157} λ = -0.83295157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.737844758951904))-π/2
    2×atan(0.478143319925226)-π/2
    2×0.446009877243945-π/2
    0.892019754487891-1.57079632675     		φ = -0.67877657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83295157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.724610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67877657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.891033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6020 KachelY 10116 -0.83295157 -0.67877657 -47.724610 -38.891033
    Oben rechts KachelX + 1 6021 KachelY 10116 -0.83256807 -0.67877657 -47.702637 -38.891033
    Unten links KachelX 6020 KachelY + 1 10117 -0.83295157 -0.67907503 -47.724610 -38.908133
    Unten rechts KachelX + 1 6021 KachelY + 1 10117 -0.83256807 -0.67907503 -47.702637 -38.908133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67877657--0.67907503) × R
    0.00029846 × 6371000     		dl = 1901.48866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67877657--0.67907503) × R
    0.00029846 × 6371000     		dr = 1901.48866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83295157--0.83256807) × cos(-0.67877657) × R
    0.000383499999999981 × 0.778341420880445 × 6371000     		do = 1901.70485929655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83295157--0.83256807) × cos(-0.67907503) × R
    0.000383499999999981 × 0.778154000717691 × 6371000     		du = 1901.24693964243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67877657)-sin(-0.67907503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778341420880445-0.778154000717691)×R²
    abs(-0.83256807--0.83295157)×0.000187420162753749×R²
    0.000383499999999981×0.000187420162753749×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187420162753749×40589641000000     		ar = 3615634.88694349m²