Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6024 / 10120
↖ ↑ ↗
← S 38.959409°
W 47.636719°		 ← 1 899.87 m → S 38.959409°
W 47.614746°		 →
↑
1 899.58 m
↓
↑
1 899.58 m
↓
S 38.976492°
W 47.636719°		 ← 1 899.41 m →
3 608 520 m²		 S 38.976492°
W 47.614746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367706298828125 y=0.617706298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367706298828125 × 214)
    floor (0.367706298828125 × 16384)
    floor (6024.5)     		tx = 6024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617706298828125 × 214)
    floor (0.617706298828125 × 16384)
    floor (10120.5)     		ty = 10120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6024 / 10120 ti = "14/6024/10120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6024/10120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6024 ÷ 214
    6024 ÷ 16384     		x = 0.36767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10120 ÷ 214
    10120 ÷ 16384     		y = 0.61767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83141759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.739378739739746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83141759} λ = -0.83141759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739378739739746))-π/2
    2×atan(0.477410419529904)-π/2
    2×0.445413184376288-π/2
    0.890826368752575-1.57079632675     		φ = -0.67996996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83141759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67996996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.959409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6024 KachelY 10120 -0.83141759 -0.67996996 -47.636719 -38.959409
    Oben rechts KachelX + 1 6025 KachelY 10120 -0.83103409 -0.67996996 -47.614746 -38.959409
    Unten links KachelX 6024 KachelY + 1 10121 -0.83141759 -0.68026812 -47.636719 -38.976492
    Unten rechts KachelX + 1 6025 KachelY + 1 10121 -0.83103409 -0.68026812 -47.614746 -38.976492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67996996--0.68026812) × R
    0.000298160000000047 × 6371000     		dl = 1899.5773600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67996996--0.68026812) × R
    0.000298160000000047 × 6371000     		dr = 1899.5773600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83141759--0.83103409) × cos(-0.67996996) × R
    0.000383500000000092 × 0.777591607342525 × 6371000     		do = 1899.87285600089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83141759--0.83103409) × cos(-0.68026812) × R
    0.000383500000000092 × 0.777404098818144 × 6371000     		du = 1899.4147204547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67996996)-sin(-0.68026812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777591607342525-0.777404098818144)×R²
    abs(-0.83103409--0.83141759)×0.000187508524380764×R²
    0.000383500000000092×0.000187508524380764×6371000²
    0.000383500000000092×0.000187508524380764×40589641000000     		ar = 3608520.35891554m²