Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6024 / 10632
↖ ↑ ↗
← S 47.159840°
W 47.636719°		 ← 1 661.32 m → S 47.159840°
W 47.614746°		 →
↑
1 661.11 m
↓
↑
1 661.11 m
↓
S 47.174779°
W 47.636719°		 ← 1 660.85 m →
2 759 249 m²		 S 47.174779°
W 47.614746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367706298828125 y=0.648956298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367706298828125 × 214)
    floor (0.367706298828125 × 16384)
    floor (6024.5)     		tx = 6024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648956298828125 × 214)
    floor (0.648956298828125 × 16384)
    floor (10632.5)     		ty = 10632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6024 / 10632 ti = "14/6024/10632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6024/10632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6024 ÷ 214
    6024 ÷ 16384     		x = 0.36767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10632 ÷ 214
    10632 ÷ 16384     		y = 0.64892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83141759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64892578125 × 2 - 1) × π
    -0.2978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.935728280583496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83141759} λ = -0.83141759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935728280583496))-π/2
    2×atan(0.392300056955348)-π/2
    2×0.373850921935847-π/2
    0.747701843871693-1.57079632675     		φ = -0.82309448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83141759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82309448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.159840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6024 KachelY 10632 -0.83141759 -0.82309448 -47.636719 -47.159840
    Oben rechts KachelX + 1 6025 KachelY 10632 -0.83103409 -0.82309448 -47.614746 -47.159840
    Unten links KachelX 6024 KachelY + 1 10633 -0.83141759 -0.82335521 -47.636719 -47.174779
    Unten rechts KachelX + 1 6025 KachelY + 1 10633 -0.83103409 -0.82335521 -47.614746 -47.174779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82309448--0.82335521) × R
    0.000260730000000042 × 6371000     		dl = 1661.11083000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82309448--0.82335521) × R
    0.000260730000000042 × 6371000     		dr = 1661.11083000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83141759--0.83103409) × cos(-0.82309448) × R
    0.000383500000000092 × 0.679955428344822 × 6371000     		do = 1661.32047903359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83141759--0.83103409) × cos(-0.82335521) × R
    0.000383500000000092 × 0.679764224064391 × 6371000     		du = 1660.85331372611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82309448)-sin(-0.82335521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679955428344822-0.679764224064391)×R²
    abs(-0.83103409--0.83141759)×0.000191204280431734×R²
    0.000383500000000092×0.000191204280431734×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191204280431734×40589641000000     		ar = 2759249.44877852m²