Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 608 / 608
↖ ↑ ↗
← S 31.952162°
E 33.750000°		 ← 33.169 km → S 31.952162°
E 34.101563°		 →
↑
33.115 km
↓
↑
33.115 km
↓
S 32.249975°
E 33.750000°		 ← 33.061 km →
1 096.62 km²		 S 32.249975°
E 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59423828125 y=0.59423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59423828125 × 210)
    floor (0.59423828125 × 1024)
    floor (608.5)     		tx = 608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59423828125 × 210)
    floor (0.59423828125 × 1024)
    floor (608.5)     		ty = 608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 608 / 608 ti = "10/608/608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/608/608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 608 ÷ 210
    608 ÷ 1024     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 608 ÷ 210
    608 ÷ 1024     		y = 0.59375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59375 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58904862253125))-π/2
    2×atan(0.554854910169195)-π/2
    2×0.506562946312123-π/2
    1.01312589262425-1.57079632675     		φ = -0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 608 KachelY 608 0.58904862 -0.55767043 33.750000 -31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 609 KachelY 608 0.59518455 -0.55767043 34.101563 -31.952162
    Unten links KachelX 608 KachelY + 1 609 0.58904862 -0.56286824 33.750000 -32.249975
    Unten rechts KachelX + 1 609 KachelY + 1 609 0.59518455 -0.56286824 34.101563 -32.249975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55767043--0.56286824) × R
    0.00519780999999997 × 6371000     		dl = 33115.2475099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55767043--0.56286824) × R
    0.00519780999999997 × 6371000     		dr = 33115.2475099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.59518455) × cos(-0.55767043) × R
    0.00613593000000001 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 33169.1892204157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.59518455) × cos(-0.56286824) × R
    0.00613593000000001 × 0.845728058505028 × 6371000     		du = 33061.209745731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55767043)-sin(-0.56286824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.845728058505028)×R²
    abs(0.59518455-0.58904862)×0.0027621878384303×R²
    0.00613593000000001×0.0027621878384303×6371000²
    0.00613593000000001×0.0027621878384303×40589641000000     		ar = 1096620496.19667m²