Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 608 / 864
↖ ↑ ↗
← S 76.840817°
E 33.750000°		 ← 8 899.58 m → S 76.840817°
E 34.101563°		 →
↑
8 873.02 m
↓
↑
8 873.02 m
↓
S 76.920614°
E 33.750000°		 ← 8 846.56 m →
78 730 914 m²		 S 76.920614°
E 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59423828125 y=0.84423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59423828125 × 210)
    floor (0.59423828125 × 1024)
    floor (608.5)     		tx = 608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.84423828125 × 210)
    floor (0.84423828125 × 1024)
    floor (864.5)     		ty = 864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 608 / 864 ti = "10/608/864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/608/864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 608 ÷ 210
    608 ÷ 1024     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 864 ÷ 210
    864 ÷ 1024     		y = 0.84375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.84375 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Φ = -2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.15984494928125))-π/2
    2×atan(0.115343003667291)-π/2
    2×0.114835540228313-π/2
    0.229671080456626-1.57079632675     		φ = -1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 608 KachelY 864 0.58904862 -1.34112525 33.750000 -76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 609 KachelY 864 0.59518455 -1.34112525 34.101563 -76.840817
    Unten links KachelX 608 KachelY + 1 865 0.58904862 -1.34251797 33.750000 -76.920614
    Unten rechts KachelX + 1 609 KachelY + 1 865 0.59518455 -1.34251797 34.101563 -76.920614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.34112525--1.34251797) × R
    0.00139272000000012 × 6371000     		dl = 8873.0191200008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.34112525--1.34251797) × R
    0.00139272000000012 × 6371000     		dr = 8873.0191200008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.59518455) × cos(-1.34112525) × R
    0.00613593000000001 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 8899.57949012567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.59518455) × cos(-1.34251797) × R
    0.00613593000000001 × 0.226300880361387 × 6371000     		du = 8846.5562848852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.34112525)-sin(-1.34251797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.226300880361387)×R²
    abs(0.59518455-0.58904862)×0.00135636937573111×R²
    0.00613593000000001×0.00135636937573111×6371000²
    0.00613593000000001×0.00135636937573111×40589641000000     		ar = 78730913.7448824m²