Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6080 / 14272
↖ ↑ ↗
← S 78.903929°
W 46.406250°		 ← 470.22 m → S 78.903929°
W 46.384277°		 →
↑
470.12 m
↓
↑
470.12 m
↓
S 78.908157°
W 46.406250°		 ← 470.04 m →
221 017 m²		 S 78.908157°
W 46.384277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371124267578125 y=0.871124267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371124267578125 × 214)
    floor (0.371124267578125 × 16384)
    floor (6080.5)     		tx = 6080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.871124267578125 × 214)
    floor (0.871124267578125 × 16384)
    floor (14272.5)     		ty = 14272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6080 / 14272 ti = "14/6080/14272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6080/14272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6080 ÷ 214
    6080 ÷ 16384     		x = 0.37109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14272 ÷ 214
    14272 ÷ 16384     		y = 0.87109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37109375 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87109375 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80994186} λ = -0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.33165079751953))-π/2
    2×atan(0.0971352640105556)-π/2
    2×0.096831483108022-π/2
    0.193662966216044-1.57079632675     		φ = -1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6080 KachelY 14272 -0.80994186 -1.37713336 -46.406250 -78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 6081 KachelY 14272 -0.80955836 -1.37713336 -46.384277 -78.903929
    Unten links KachelX 6080 KachelY + 1 14273 -0.80994186 -1.37720715 -46.406250 -78.908157
    Unten rechts KachelX + 1 6081 KachelY + 1 14273 -0.80955836 -1.37720715 -46.384277 -78.908157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37713336--1.37720715) × R
    7.37900000000735e-05 × 6371000     		dl = 470.116090000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37713336--1.37720715) × R
    7.37900000000735e-05 × 6371000     		dr = 470.116090000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80994186--0.80955836) × cos(-1.37713336) × R
    0.000383499999999981 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 470.220354623731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80994186--0.80955836) × cos(-1.37720715) × R
    0.000383499999999981 × 0.192382257765495 × 6371000     		du = 470.043434179868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37713336)-sin(-1.37720715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.192382257765495)×R²
    abs(-0.80955836--0.80994186)×7.24110836578806e-05×R²
    0.000383499999999981×7.24110836578806e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.24110836578806e-05×40589641000000     		ar = 221016.568080776m²