Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6112 / 10337
↖ ↑ ↗
← S 42.569264°
W 45.703125°		 ← 1 799.38 m → S 42.569264°
W 45.681152°		 →
↑
1 799.17 m
↓
↑
1 799.17 m
↓
S 42.585445°
W 45.703125°		 ← 1 798.91 m →
3 236 966 m²		 S 42.585445°
W 45.681152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373077392578125 y=0.630950927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373077392578125 × 214)
    floor (0.373077392578125 × 16384)
    floor (6112.5)     		tx = 6112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630950927734375 × 214)
    floor (0.630950927734375 × 16384)
    floor (10337.5)     		ty = 10337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6112 / 10337 ti = "14/6112/10337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6112/10337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6112 ÷ 214
    6112 ÷ 16384     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10337 ÷ 214
    10337 ÷ 16384     		y = 0.63092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63092041015625 × 2 - 1) × π
    -0.2618408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.822597197480164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822597197480164))-π/2
    2×atan(0.439289250689057)-π/2
    2×0.413911251682756-π/2
    0.827822503365512-1.57079632675     		φ = -0.74297382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74297382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.569264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6112 KachelY 10337 -0.79767001 -0.74297382 -45.703125 -42.569264
    Oben rechts KachelX + 1 6113 KachelY 10337 -0.79728651 -0.74297382 -45.681152 -42.569264
    Unten links KachelX 6112 KachelY + 1 10338 -0.79767001 -0.74325622 -45.703125 -42.585445
    Unten rechts KachelX + 1 6113 KachelY + 1 10338 -0.79728651 -0.74325622 -45.681152 -42.585445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74297382--0.74325622) × R
    0.000282400000000016 × 6371000     		dl = 1799.1704000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74297382--0.74325622) × R
    0.000282400000000016 × 6371000     		dr = 1799.1704000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.79728651) × cos(-0.74297382) × R
    0.000383500000000092 × 0.73646008544792 × 6371000     		do = 1799.3770928835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.79728651) × cos(-0.74325622) × R
    0.000383500000000092 × 0.736269017849973 × 6371000     		du = 1798.91026152939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74297382)-sin(-0.74325622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73646008544792-0.736269017849973)×R²
    abs(-0.79728651--0.79767001)×0.000191067597947181×R²
    0.000383500000000092×0.000191067597947181×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191067597947181×40589641000000     		ar = 3236966.07088875m²