Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6112 / 6112
↖ ↑ ↗
← S 65.946472°
E 88.593750°		 ← 1 991.69 m → S 65.946472°
E 88.637695°		 →
↑
1 991 m
↓
↑
1 991 m
↓
S 65.964377°
E 88.593750°		 ← 1 990.29 m →
3 964 060 m²		 S 65.964377°
E 88.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74615478515625 y=0.74615478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74615478515625 × 213)
    floor (0.74615478515625 × 8192)
    floor (6112.5)     		tx = 6112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74615478515625 × 213)
    floor (0.74615478515625 × 8192)
    floor (6112.5)     		ty = 6112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6112 / 6112 ti = "13/6112/6112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6112/6112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6112 ÷ 213
    6112 ÷ 8192     		x = 0.74609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6112 ÷ 213
    6112 ÷ 8192     		y = 0.74609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74609375 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54625263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74609375 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54625263} λ = 1.54625263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54625263414453))-π/2
    2×atan(0.213044836772739)-π/2
    2×0.209906632122725-π/2
    0.419813264245451-1.57079632675     		φ = -1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54625263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6112 KachelY 6112 1.54625263 -1.15098306 88.593750 -65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 6113 KachelY 6112 1.54701962 -1.15098306 88.637695 -65.946472
    Unten links KachelX 6112 KachelY + 1 6113 1.54625263 -1.15129557 88.593750 -65.964377
    Unten rechts KachelX + 1 6113 KachelY + 1 6113 1.54701962 -1.15129557 88.637695 -65.964377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15098306--1.15129557) × R
    0.000312510000000099 × 6371000     		dl = 1991.00121000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15098306--1.15129557) × R
    0.000312510000000099 × 6371000     		dr = 1991.00121000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54625263-1.54701962) × cos(-1.15098306) × R
    0.000766990000000023 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 1991.685516298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54625263-1.54701962) × cos(-1.15129557) × R
    0.000766990000000023 × 0.407304548813524 × 6371000     		du = 1990.29094476382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15098306)-sin(-1.15129557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.407304548813524)×R²
    abs(1.54701962-1.54625263)×0.000285393113509669×R²
    0.000766990000000023×0.000285393113509669×6371000²
    0.000766990000000023×0.000285393113509669×40589641000000     		ar = 3964060.00834608m²