Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6127 / 10225
↖ ↑ ↗
← S 40.730608°
W 45.373535°		 ← 1 851.43 m → S 40.730608°
W 45.351563°		 →
↑
1 851.29 m
↓
↑
1 851.29 m
↓
S 40.747257°
W 45.373535°		 ← 1 850.97 m →
3 427 103 m²		 S 40.747257°
W 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373992919921875 y=0.624114990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373992919921875 × 214)
    floor (0.373992919921875 × 16384)
    floor (6127.5)     		tx = 6127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624114990234375 × 214)
    floor (0.624114990234375 × 16384)
    floor (10225.5)     		ty = 10225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6127 / 10225 ti = "14/6127/10225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6127/10225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6127 ÷ 214
    6127 ÷ 16384     		x = 0.37396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10225 ÷ 214
    10225 ÷ 16384     		y = 0.62408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.2520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79191758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.2481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.779645735420593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79191758} λ = -0.79191758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779645735420593))-π/2
    2×atan(0.458568437087168)-π/2
    2×0.429956551266758-π/2
    0.859913102533516-1.57079632675     		φ = -0.71088322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79191758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71088322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.730608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6127 KachelY 10225 -0.79191758 -0.71088322 -45.373535 -40.730608
    Oben rechts KachelX + 1 6128 KachelY 10225 -0.79153409 -0.71088322 -45.351563 -40.730608
    Unten links KachelX 6127 KachelY + 1 10226 -0.79191758 -0.71117380 -45.373535 -40.747257
    Unten rechts KachelX + 1 6128 KachelY + 1 10226 -0.79153409 -0.71117380 -45.351563 -40.747257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71088322--0.71117380) × R
    0.000290579999999929 × 6371000     		dl = 1851.28517999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71088322--0.71117380) × R
    0.000290579999999929 × 6371000     		dr = 1851.28517999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79191758--0.79153409) × cos(-0.71088322) × R
    0.000383490000000042 × 0.757785867651592 × 6371000     		do = 1851.43363949955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79191758--0.79153409) × cos(-0.71117380) × R
    0.000383490000000042 × 0.757596231247903 × 6371000     		du = 1850.97031703334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71088322)-sin(-0.71117380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757785867651592-0.757596231247903)×R²
    abs(-0.79153409--0.79191758)×0.00018963640368852×R²
    0.000383490000000042×0.00018963640368852×6371000²
    0.000383490000000042×0.00018963640368852×40589641000000     		ar = 3427102.81166504m²