Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6132 / 10260
↖ ↑ ↗
← S 41.310824°
W 45.263672°		 ← 1 835.24 m → S 41.310824°
W 45.241699°		 →
↑
1 835.04 m
↓
↑
1 835.04 m
↓
S 41.327327°
W 45.263672°		 ← 1 834.78 m →
3 367 316 m²		 S 41.327327°
W 45.241699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374298095703125 y=0.626251220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374298095703125 × 214)
    floor (0.374298095703125 × 16384)
    floor (6132.5)     		tx = 6132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626251220703125 × 214)
    floor (0.626251220703125 × 16384)
    floor (10260.5)     		ty = 10260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6132 / 10260 ti = "14/6132/10260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6132/10260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6132 ÷ 214
    6132 ÷ 16384     		x = 0.374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10260 ÷ 214
    10260 ÷ 16384     		y = 0.626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626220703125 × 2 - 1) × π
    -0.25244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.793068067314209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79000011} λ = -0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793068067314209))-π/2
    2×atan(0.452454502746342)-π/2
    2×0.424893216689199-π/2
    0.849786433378399-1.57079632675     		φ = -0.72100989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72100989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.310824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6132 KachelY 10260 -0.79000011 -0.72100989 -45.263672 -41.310824
    Oben rechts KachelX + 1 6133 KachelY 10260 -0.78961661 -0.72100989 -45.241699 -41.310824
    Unten links KachelX 6132 KachelY + 1 10261 -0.79000011 -0.72129792 -45.263672 -41.327327
    Unten rechts KachelX + 1 6133 KachelY + 1 10261 -0.78961661 -0.72129792 -45.241699 -41.327327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72100989--0.72129792) × R
    0.000288029999999995 × 6371000     		dl = 1835.03912999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72100989--0.72129792) × R
    0.000288029999999995 × 6371000     		dr = 1835.03912999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79000011--0.78961661) × cos(-0.72100989) × R
    0.000383499999999981 × 0.75113943989275 × 6371000     		do = 1835.24284399191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79000011--0.78961661) × cos(-0.72129792) × R
    0.000383499999999981 × 0.750949267583241 × 6371000     		du = 1834.77820007679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72100989)-sin(-0.72129792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75113943989275-0.750949267583241)×R²
    abs(-0.78961661--0.79000011)×0.000190172309508241×R²
    0.000383499999999981×0.000190172309508241×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190172309508241×40589641000000     		ar = 3367316.13517345m²