Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6140 / 2044
↖ ↑ ↗
← N 66.583217°
E 89.824219°		 ← 1 941.97 m → N 66.583217°
E 89.868164°		 →
↑
1 942.65 m
↓
↑
1 942.65 m
↓
N 66.565747°
E 89.824219°		 ← 1 943.34 m →
3 773 895 m²		 N 66.565747°
E 89.868164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74957275390625 y=0.24957275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74957275390625 × 213)
    floor (0.74957275390625 × 8192)
    floor (6140.5)     		tx = 6140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24957275390625 × 213)
    floor (0.24957275390625 × 8192)
    floor (2044.5)     		ty = 2044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6140 / 2044 ti = "13/6140/2044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6140/2044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6140 ÷ 213
    6140 ÷ 8192     		x = 0.74951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2044 ÷ 213
    2044 ÷ 8192     		y = 0.24951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56772837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24951171875 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57386428832568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56772837} λ = 1.56772837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57386428832568))-π/2
    2×atan(4.82525840272422)-π/2
    2×1.36644634724365-π/2
    2.73289269448729-1.57079632675     		φ = 1.16209637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56772837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16209637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.583217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6140 KachelY 2044 1.56772837 1.16209637 89.824219 66.583217
    Oben rechts KachelX + 1 6141 KachelY 2044 1.56849536 1.16209637 89.868164 66.583217
    Unten links KachelX 6140 KachelY + 1 2045 1.56772837 1.16179145 89.824219 66.565747
    Unten rechts KachelX + 1 6141 KachelY + 1 2045 1.56849536 1.16179145 89.868164 66.565747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16209637-1.16179145) × R
    0.000304920000000042 × 6371000     		dl = 1942.64532000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16209637-1.16179145) × R
    0.000304920000000042 × 6371000     		dr = 1942.64532000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56772837-1.56849536) × cos(1.16209637) × R
    0.000766990000000023 × 0.39741669477909 × 6371000     		do = 1941.97401237206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56772837-1.56849536) × cos(1.16179145) × R
    0.000766990000000023 × 0.397696482556931 × 6371000     		du = 1943.3411934711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16209637)-sin(1.16179145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39741669477909-0.397696482556931)×R²
    abs(1.56849536-1.56772837)×0.000279787777840546×R²
    0.000766990000000023×0.000279787777840546×6371000²
    0.000766990000000023×0.000279787777840546×40589641000000     		ar = 3773894.72992041m²