Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6141 / 10237
↖ ↑ ↗
← S 40.930115°
W 45.065918°		 ← 1 845.92 m → S 40.930115°
W 45.043945°		 →
↑
1 845.68 m
↓
↑
1 845.68 m
↓
S 40.946714°
W 45.065918°		 ← 1 845.46 m →
3 406 546 m²		 S 40.946714°
W 45.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374847412109375 y=0.624847412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374847412109375 × 214)
    floor (0.374847412109375 × 16384)
    floor (6141.5)     		tx = 6141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624847412109375 × 214)
    floor (0.624847412109375 × 16384)
    floor (10237.5)     		ty = 10237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6141 / 10237 ti = "14/6141/10237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6141/10237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6141 ÷ 214
    6141 ÷ 16384     		x = 0.37481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10237 ÷ 214
    10237 ÷ 16384     		y = 0.62481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.2503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78654865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.2496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.784247677784119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78654865} λ = -0.78654865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784247677784119))-π/2
    2×atan(0.456462979882072)-π/2
    2×0.428215526623415-π/2
    0.85643105324683-1.57079632675     		φ = -0.71436527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78654865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71436527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.930115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6141 KachelY 10237 -0.78654865 -0.71436527 -45.065918 -40.930115
    Oben rechts KachelX + 1 6142 KachelY 10237 -0.78616515 -0.71436527 -45.043945 -40.930115
    Unten links KachelX 6141 KachelY + 1 10238 -0.78654865 -0.71465497 -45.065918 -40.946714
    Unten rechts KachelX + 1 6142 KachelY + 1 10238 -0.78616515 -0.71465497 -45.043945 -40.946714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71436527--0.71465497) × R
    0.000289699999999948 × 6371000     		dl = 1845.67869999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71436527--0.71465497) × R
    0.000289699999999948 × 6371000     		dr = 1845.67869999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78654865--0.78616515) × cos(-0.71436527) × R
    0.000383499999999981 × 0.755509229119713 × 6371000     		do = 1845.91945605968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78654865--0.78616515) × cos(-0.71465497) × R
    0.000383499999999981 × 0.755319403939046 × 6371000     		du = 1845.455660277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71436527)-sin(-0.71465497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755509229119713-0.755319403939046)×R²
    abs(-0.78616515--0.78654865)×0.00018982518066657×R²
    0.000383499999999981×0.00018982518066657×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018982518066657×40589641000000     		ar = 3406546.23679122m²