Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6143 / 14334
↖ ↑ ↗
← S 79.163075°
W 45.021973°		 ← 459.37 m → S 79.163075°
W 45.000000°		 →
↑
459.29 m
↓
↑
459.29 m
↓
S 79.167206°
W 45.021973°		 ← 459.20 m →
210 943 m²		 S 79.167206°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374969482421875 y=0.874908447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374969482421875 × 214)
    floor (0.374969482421875 × 16384)
    floor (6143.5)     		tx = 6143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874908447265625 × 214)
    floor (0.874908447265625 × 16384)
    floor (14334.5)     		ty = 14334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6143 / 14334 ti = "14/6143/14334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6143/14334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6143 ÷ 214
    6143 ÷ 16384     		x = 0.37493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14334 ÷ 214
    14334 ÷ 16384     		y = 0.8748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.2501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78578166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.749755859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35542749973108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78578166} λ = -0.78578166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35542749973108))-π/2
    2×atan(0.0948529482560427)-π/2
    2×0.0945700074994685-π/2
    0.189140014998937-1.57079632675     		φ = -1.38165631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78578166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38165631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.163075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6143 KachelY 14334 -0.78578166 -1.38165631 -45.021973 -79.163075
    Oben rechts KachelX + 1 6144 KachelY 14334 -0.78539816 -1.38165631 -45.000000 -79.163075
    Unten links KachelX 6143 KachelY + 1 14335 -0.78578166 -1.38172840 -45.021973 -79.167206
    Unten rechts KachelX + 1 6144 KachelY + 1 14335 -0.78539816 -1.38172840 -45.000000 -79.167206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38165631--1.38172840) × R
    7.20899999999691e-05 × 6371000     		dl = 459.285389999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38165631--1.38172840) × R
    7.20899999999691e-05 × 6371000     		dr = 459.285389999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78578166--0.78539816) × cos(-1.38165631) × R
    0.000383500000000092 × 0.188014318093767 × 6371000     		do = 459.371341090773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78578166--0.78539816) × cos(-1.38172840) × R
    0.000383500000000092 × 0.187943513237615 × 6371000     		du = 459.19834510804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38165631)-sin(-1.38172840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188014318093767-0.187943513237615)×R²
    abs(-0.78539816--0.78578166)×7.08048561526842e-05×R²
    0.000383500000000092×7.08048561526842e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.08048561526842e-05×40589641000000     		ar = 210942.818375641m²