Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6144 / 14336
↖ ↑ ↗
← S 79.171334°
W 45.000000°		 ← 459.01 m → S 79.171334°
W 44.978027°		 →
↑
458.97 m
↓
↑
458.97 m
↓
S 79.175462°
W 45.000000°		 ← 458.84 m →
210 632 m²		 S 79.175462°
W 44.978027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375030517578125 y=0.875030517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375030517578125 × 214)
    floor (0.375030517578125 × 16384)
    floor (6144.5)     		tx = 6144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875030517578125 × 214)
    floor (0.875030517578125 × 16384)
    floor (14336.5)     		ty = 14336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6144 / 14336 ti = "14/6144/14336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6144/14336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6144 ÷ 214
    6144 ÷ 16384     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14336 ÷ 214
    14336 ÷ 16384     		y = 0.875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Φ = -2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.356194490125))-π/2
    2×atan(0.0947802248485378)-π/2
    2×0.0944979320635037-π/2
    0.188995864127007-1.57079632675     		φ = -1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6144 KachelY 14336 -0.78539816 -1.38180046 -45.000000 -79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 6145 KachelY 14336 -0.78501467 -1.38180046 -44.978027 -79.171334
    Unten links KachelX 6144 KachelY + 1 14337 -0.78539816 -1.38187250 -45.000000 -79.175462
    Unten rechts KachelX + 1 6145 KachelY + 1 14337 -0.78501467 -1.38187250 -44.978027 -79.175462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38180046--1.38187250) × R
    7.2040000000051e-05 × 6371000     		dl = 458.966840000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38180046--1.38187250) × R
    7.2040000000051e-05 × 6371000     		dr = 458.966840000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.78501467) × cos(-1.38180046) × R
    0.000383489999999931 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 459.013449359767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.78501467) × cos(-1.38187250) × R
    0.000383489999999931 × 0.187801979172021 × 6371000     		du = 458.840573104272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38180046)-sin(-1.38187250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.187801979172021)×R²
    abs(-0.78501467--0.78539816)×7.07576985056468e-05×R²
    0.000383489999999931×7.07576985056468e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.07576985056468e-05×40589641000000     		ar = 210632.280226476m²