Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61440 / 28672
↖ ↑ ↗
← N 21.943045°
E157.500000°		 ← 566.60 m → N 21.943045°
E157.505493°		 →
↑
566.57 m
↓
↑
566.57 m
↓
N 21.937950°
E157.500000°		 ← 566.62 m →
321 025 m²		 N 21.937950°
E157.505493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937507629394531 y=0.437507629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937507629394531 × 216)
    floor (0.937507629394531 × 65536)
    floor (61440.5)     		tx = 61440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437507629394531 × 216)
    floor (0.437507629394531 × 65536)
    floor (28672.5)     		ty = 28672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61440 / 28672 ti = "16/61440/28672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61440/28672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61440 ÷ 216
    61440 ÷ 65536     		x = 0.9375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28672 ÷ 216
    28672 ÷ 65536     		y = 0.4375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9375 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Λ = 2.74889357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4375 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74889357} λ = 2.74889357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3926990816875))-π/2
    2×atan(1.48097267047329)-π/2
    2×0.976887359629009-π/2
    1.95377471925802-1.57079632675     		φ = 0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74889357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61440 KachelY 28672 2.74889357 0.38297839 157.500000 21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 61441 KachelY 28672 2.74898945 0.38297839 157.505493 21.943045
    Unten links KachelX 61440 KachelY + 1 28673 2.74889357 0.38288946 157.500000 21.937950
    Unten rechts KachelX + 1 61441 KachelY + 1 28673 2.74898945 0.38288946 157.505493 21.937950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38297839-0.38288946) × R
    8.89299999999871e-05 × 6371000     		dl = 566.573029999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38297839-0.38288946) × R
    8.89299999999871e-05 × 6371000     		dr = 566.573029999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74889357-2.74898945) × cos(0.38297839) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 566.598816348814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74889357-2.74898945) × cos(0.38288946) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.927589000510194 × 6371000     		du = 566.619113793001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38297839)-sin(0.38288946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.927589000510194)×R²
    abs(2.74898945-2.74889357)×3.32281165748016e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.32281165748016e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.32281165748016e-05×40589641000000     		ar = 321025.358376848m²