Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61440 / 77824
↖ ↑ ↗
← S 31.952162°
W 11.250000°		 ← 259.15 m → S 31.952162°
W 11.247253°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
S 31.954493°
W 11.250000°		 ← 259.14 m →
67 164 m²		 S 31.954493°
W 11.247253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468753814697266 y=0.593753814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468753814697266 × 217)
    floor (0.468753814697266 × 131072)
    floor (61440.5)     		tx = 61440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593753814697266 × 217)
    floor (0.593753814697266 × 131072)
    floor (77824.5)     		ty = 77824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61440 / 77824 ti = "17/61440/77824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61440/77824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61440 ÷ 217
    61440 ÷ 131072     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77824 ÷ 217
    77824 ÷ 131072     		y = 0.59375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59375 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58904862253125))-π/2
    2×atan(0.554854910169195)-π/2
    2×0.506562946312123-π/2
    1.01312589262425-1.57079632675     		φ = -0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61440 KachelY 77824 -0.19634954 -0.55767043 -11.250000 -31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 61441 KachelY 77824 -0.19630160 -0.55767043 -11.247253 -31.952162
    Unten links KachelX 61440 KachelY + 1 77825 -0.19634954 -0.55771111 -11.250000 -31.954493
    Unten rechts KachelX + 1 61441 KachelY + 1 77825 -0.19630160 -0.55771111 -11.247253 -31.954493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55767043--0.55771111) × R
    4.06799999999041e-05 × 6371000     		dl = 259.172279999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55767043--0.55771111) × R
    4.06799999999041e-05 × 6371000     		dr = 259.172279999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19630160) × cos(-0.55767043) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 259.150761372213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19630160) × cos(-0.55771111) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848468717337174 × 6371000     		du = 259.144185859537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55767043)-sin(-0.55771111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.848468717337174)×R²
    abs(-0.19630160--0.19634954)×2.15290062846041e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15290062846041e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15290062846041e-05×40589641000000     		ar = 67163.8416025079m²