Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61440 / 86015
↖ ↑ ↗
← S 48.920694°
W 11.250000°		 ← 200.70 m → S 48.920694°
W 11.247253°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
S 48.922499°
W 11.250000°		 ← 200.69 m →
40 276 m²		 S 48.922499°
W 11.247253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468753814697266 y=0.656246185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468753814697266 × 217)
    floor (0.468753814697266 × 131072)
    floor (61440.5)     		tx = 61440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656246185302734 × 217)
    floor (0.656246185302734 × 131072)
    floor (86015.5)     		ty = 86015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61440 / 86015 ti = "17/61440/86015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61440/86015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61440 ÷ 217
    61440 ÷ 131072     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86015 ÷ 217
    86015 ÷ 131072     		y = 0.656242370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656242370605469 × 2 - 1) × π
    -0.312484741210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.98169976731913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98169976731913))-π/2
    2×atan(0.374673699180095)-π/2
    2×0.358484567634453-π/2
    0.716969135268906-1.57079632675     		φ = -0.85382719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85382719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.920694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61440 KachelY 86015 -0.19634954 -0.85382719 -11.250000 -48.920694
    Oben rechts KachelX + 1 61441 KachelY 86015 -0.19630160 -0.85382719 -11.247253 -48.920694
    Unten links KachelX 61440 KachelY + 1 86016 -0.19634954 -0.85385869 -11.250000 -48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 61441 KachelY + 1 86016 -0.19630160 -0.85385869 -11.247253 -48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85382719--0.85385869) × R
    3.15000000000731e-05 × 6371000     		dl = 200.686500000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85382719--0.85385869) × R
    3.15000000000731e-05 × 6371000     		dr = 200.686500000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19630160) × cos(-0.85382719) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657103026543327 × 6371000     		do = 200.69617813822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19630160) × cos(-0.85385869) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 200.6889257886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85382719)-sin(-0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657103026543327-0.657079281492828)×R²
    abs(-0.19630160--0.19634954)×2.3745050499846e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3745050499846e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3745050499846e-05×40589641000000     		ar = 40276.2858330164m²