Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61440 / 94208
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
W 11.250000°		 ← 145.24 m → S 61.606397°
W 11.247253°		 →
↑
145.20 m
↓
↑
145.20 m
↓
S 61.607702°
W 11.250000°		 ← 145.23 m →
21 087 m²		 S 61.607702°
W 11.247253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468753814697266 y=0.718753814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468753814697266 × 217)
    floor (0.468753814697266 × 131072)
    floor (61440.5)     		tx = 61440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718753814697266 × 217)
    floor (0.718753814697266 × 131072)
    floor (94208.5)     		ty = 94208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61440 / 94208 ti = "17/61440/94208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61440/94208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61440 ÷ 217
    61440 ÷ 131072     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94208 ÷ 217
    94208 ÷ 131072     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61440 KachelY 94208 -0.19634954 -1.07523446 -11.250000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 61441 KachelY 94208 -0.19630160 -1.07523446 -11.247253 -61.606397
    Unten links KachelX 61440 KachelY + 1 94209 -0.19634954 -1.07525725 -11.250000 -61.607702
    Unten rechts KachelX + 1 61441 KachelY + 1 94209 -0.19630160 -1.07525725 -11.247253 -61.607702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.07525725) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dl = 145.19509000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.07525725) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dr = 145.19509000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19630160) × cos(-1.07523446) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 145.237880885502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19630160) × cos(-1.07525725) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.475505952936685 × 6371000     		du = 145.231757550081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.07525725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.475505952936685)×R²
    abs(-0.19630160--0.19634954)×2.00485244667425e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.00485244667425e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.00485244667425e-05×40589641000000     		ar = 21087.3826484206m²