Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61442 / 28674
↖ ↑ ↗
← N 21.932855°
E157.510986°		 ← 566.58 m → N 21.932855°
E157.516479°		 →
↑
566.64 m
↓
↑
566.64 m
↓
N 21.927759°
E157.510986°		 ← 566.60 m →
321 051 m²		 N 21.927759°
E157.516479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937538146972656 y=0.437538146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937538146972656 × 216)
    floor (0.937538146972656 × 65536)
    floor (61442.5)     		tx = 61442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437538146972656 × 216)
    floor (0.437538146972656 × 65536)
    floor (28674.5)     		ty = 28674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61442 / 28674 ti = "16/61442/28674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61442/28674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61442 ÷ 216
    61442 ÷ 65536     		x = 0.937530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28674 ÷ 216
    28674 ÷ 65536     		y = 0.437530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.937530517578125 × 2 - 1) × π
    0.87506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.74908532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437530517578125 × 2 - 1) × π
    0.12493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.39250733408902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74908532} λ = 2.74908532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39250733408902))-π/2
    2×atan(1.48068872474413)-π/2
    2×0.976798428147587-π/2
    1.95359685629517-1.57079632675     		φ = 0.38280053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74908532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38280053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.932855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61442 KachelY 28674 2.74908532 0.38280053 157.510986 21.932855
    Oben rechts KachelX + 1 61443 KachelY 28674 2.74918119 0.38280053 157.516479 21.932855
    Unten links KachelX 61442 KachelY + 1 28675 2.74908532 0.38271159 157.510986 21.927759
    Unten rechts KachelX + 1 61443 KachelY + 1 28675 2.74918119 0.38271159 157.516479 21.927759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38280053-0.38271159) × R
    8.89400000000373e-05 × 6371000     		dl = 566.636740000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38280053-0.38271159) × R
    8.89400000000373e-05 × 6371000     		dr = 566.636740000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74908532-2.74918119) × cos(0.38280053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92762222129089 × 6371000     		do = 566.580307944697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74908532-2.74918119) × cos(0.38271159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927655438469816 × 6371000     		du = 566.600596591339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38280053)-sin(0.38271159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92762222129089-0.927655438469816)×R²
    abs(2.74918119-2.74908532)×3.3217178926237e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3217178926237e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3217178926237e-05×40589641000000     		ar = 321050.967000078m²