Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6145 / 2047
↖ ↑ ↗
← N 66.530768°
E 90.043945°		 ← 1 946.08 m → N 66.530768°
E 90.087891°		 →
↑
1 946.79 m
↓
↑
1 946.79 m
↓
N 66.513260°
E 90.043945°		 ← 1 947.45 m →
3 789 931 m²		 N 66.513260°
E 90.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75018310546875 y=0.24993896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75018310546875 × 213)
    floor (0.75018310546875 × 8192)
    floor (6145.5)     		tx = 6145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24993896484375 × 213)
    floor (0.24993896484375 × 8192)
    floor (2047.5)     		ty = 2047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6145 / 2047 ti = "13/6145/2047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6145/2047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6145 ÷ 213
    6145 ÷ 8192     		x = 0.7501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2047 ÷ 213
    2047 ÷ 8192     		y = 0.2498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7501220703125 × 2 - 1) × π
    0.500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57156332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2498779296875 × 2 - 1) × π
    0.500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57156331714392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57156332} λ = 1.57156332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57156331714392))-π/2
    2×atan(4.81416838599243)-π/2
    2×1.36598864208128-π/2
    2.73197728416256-1.57079632675     		φ = 1.16118096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57156332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16118096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.530768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6145 KachelY 2047 1.57156332 1.16118096 90.043945 66.530768
    Oben rechts KachelX + 1 6146 KachelY 2047 1.57233031 1.16118096 90.087891 66.530768
    Unten links KachelX 6145 KachelY + 1 2048 1.57156332 1.16087539 90.043945 66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 6146 KachelY + 1 2048 1.57233031 1.16087539 90.087891 66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16118096-1.16087539) × R
    0.000305570000000088 × 6371000     		dl = 1946.78647000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16118096-1.16087539) × R
    0.000305570000000088 × 6371000     		dr = 1946.78647000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57156332-1.57233031) × cos(1.16118096) × R
    0.000766989999999801 × 0.398256543385904 × 6371000     		do = 1946.07792695331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57156332-1.57233031) × cos(1.16087539) × R
    0.000766989999999801 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 1947.44747831034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16118096)-sin(1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398256543385904-0.398536816226928)×R²
    abs(1.57233031-1.57156332)×0.000280272841024443×R²
    0.000766989999999801×0.000280272841024443×6371000²
    0.000766989999999801×0.000280272841024443×40589641000000     		ar = 3789931.31927211m²