Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6145 / 2049
↖ ↑ ↗
← N 66.495740°
E 90.043945°		 ← 1 948.82 m → N 66.495740°
E 90.087891°		 →
↑
1 949.53 m
↓
↑
1 949.53 m
↓
N 66.478208°
E 90.043945°		 ← 1 950.19 m →
3 800 607 m²		 N 66.478208°
E 90.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75018310546875 y=0.25018310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75018310546875 × 213)
    floor (0.75018310546875 × 8192)
    floor (6145.5)     		tx = 6145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25018310546875 × 213)
    floor (0.25018310546875 × 8192)
    floor (2049.5)     		ty = 2049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6145 / 2049 ti = "13/6145/2049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6145/2049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6145 ÷ 213
    6145 ÷ 8192     		x = 0.7501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2049 ÷ 213
    2049 ÷ 8192     		y = 0.2501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7501220703125 × 2 - 1) × π
    0.500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57156332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2501220703125 × 2 - 1) × π
    0.499755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.57002933635608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57156332} λ = 1.57156332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57002933635608))-π/2
    2×atan(4.80678920538651)-π/2
    2×1.36568296815183-π/2
    2.73136593630366-1.57079632675     		φ = 1.16056961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57156332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16056961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.495740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6145 KachelY 2049 1.57156332 1.16056961 90.043945 66.495740
    Oben rechts KachelX + 1 6146 KachelY 2049 1.57233031 1.16056961 90.087891 66.495740
    Unten links KachelX 6145 KachelY + 1 2050 1.57156332 1.16026361 90.043945 66.478208
    Unten rechts KachelX + 1 6146 KachelY + 1 2050 1.57233031 1.16026361 90.087891 66.478208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16056961-1.16026361) × R
    0.000306000000000139 × 6371000     		dl = 1949.52600000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16056961-1.16026361) × R
    0.000306000000000139 × 6371000     		dr = 1949.52600000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57156332-1.57233031) × cos(1.16056961) × R
    0.000766989999999801 × 0.398817244431763 × 6371000     		do = 1948.81778885159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57156332-1.57233031) × cos(1.16026361) × R
    0.000766989999999801 × 0.399097837066471 × 6371000     		du = 1950.18890287832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16056961)-sin(1.16026361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398817244431763-0.399097837066471)×R²
    abs(1.57233031-1.57156332)×0.000280592634707588×R²
    0.000766989999999801×0.000280592634707588×6371000²
    0.000766989999999801×0.000280592634707588×40589641000000     		ar = 3800607.48950992m²