Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6146 / 10242
↖ ↑ ↗
← S 41.013066°
W 44.956055°		 ← 1 843.55 m → S 41.013066°
W 44.934082°		 →
↑
1 843.39 m
↓
↑
1 843.39 m
↓
S 41.029644°
W 44.956055°		 ← 1 843.09 m →
3 397 949 m²		 S 41.029644°
W 44.934082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375152587890625 y=0.625152587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375152587890625 × 214)
    floor (0.375152587890625 × 16384)
    floor (6146.5)     		tx = 6146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625152587890625 × 214)
    floor (0.625152587890625 × 16384)
    floor (10242.5)     		ty = 10242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6146 / 10242 ti = "14/6146/10242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6146/10242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6146 ÷ 214
    6146 ÷ 16384     		x = 0.3751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10242 ÷ 214
    10242 ÷ 16384     		y = 0.6251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78463117} λ = -0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786165153768921))-π/2
    2×atan(0.455588561686058)-π/2
    2×0.427491646245776-π/2
    0.854983292491552-1.57079632675     		φ = -0.71581303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71581303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.013066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6146 KachelY 10242 -0.78463117 -0.71581303 -44.956055 -41.013066
    Oben rechts KachelX + 1 6147 KachelY 10242 -0.78424768 -0.71581303 -44.934082 -41.013066
    Unten links KachelX 6146 KachelY + 1 10243 -0.78463117 -0.71610237 -44.956055 -41.029644
    Unten rechts KachelX + 1 6147 KachelY + 1 10243 -0.78424768 -0.71610237 -44.934082 -41.029644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71581303--0.71610237) × R
    0.000289340000000027 × 6371000     		dl = 1843.38514000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71581303--0.71610237) × R
    0.000289340000000027 × 6371000     		dr = 1843.38514000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78463117--0.78424768) × cos(-0.71581303) × R
    0.000383490000000042 × 0.754559955076964 × 6371000     		do = 1843.55204218598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78463117--0.78424768) × cos(-0.71610237) × R
    0.000383490000000042 × 0.754370049584275 × 6371000     		du = 1843.08806227754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71581303)-sin(-0.71610237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754559955076964-0.754370049584275)×R²
    abs(-0.78424768--0.78463117)×0.00018990549268938×R²
    0.000383490000000042×0.00018990549268938×6371000²
    0.000383490000000042×0.00018990549268938×40589641000000     		ar = 3397948.81625381m²