Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 6146 / 14338
↖ ↑ ↗
← N 21.922663°
W112.478027°		 ← 1 133.24 m → N 21.922663°
W112.467041°		 →
↑
1 133.27 m
↓
↑
1 133.27 m
↓
N 21.912471°
W112.478027°		 ← 1 133.32 m →
1 284 319 m²		 N 21.912471°
W112.467041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.187576293945312 y=0.437576293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.187576293945312 × 215)
    floor (0.187576293945312 × 32768)
    floor (6146.5)     		tx = 6146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437576293945312 × 215)
    floor (0.437576293945312 × 32768)
    floor (14338.5)     		ty = 14338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6146 / 14338 ti = "15/6146/14338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6146/14338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6146 ÷ 215
    6146 ÷ 32768     		x = 0.18756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14338 ÷ 215
    14338 ÷ 32768     		y = 0.43756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.18756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.6248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.96311191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    0.1248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.39231558649054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.96311191} λ = -1.96311191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39231558649054))-π/2
    2×atan(1.48040483345567)-π/2
    2×0.976709490296529-π/2
    1.95341898059306-1.57079632675     		φ = 0.38262265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.96311191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -112.478027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38262265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.922663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6146 KachelY 14338 -1.96311191 0.38262265 -112.478027 21.922663
    Oben rechts KachelX + 1 6147 KachelY 14338 -1.96292017 0.38262265 -112.467041 21.922663
    Unten links KachelX 6146 KachelY + 1 14339 -1.96311191 0.38244477 -112.478027 21.912471
    Unten rechts KachelX + 1 6147 KachelY + 1 14339 -1.96292017 0.38244477 -112.467041 21.912471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38262265-0.38244477) × R
    0.000177880000000019 × 6371000     		dl = 1133.27348000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38262265-0.38244477) × R
    0.000177880000000019 × 6371000     		dr = 1133.27348000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.96311191--1.96292017) × cos(0.38262265) × R
    0.000191739999999996 × 0.927688648310687 × 6371000     		do = 1133.24176151197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.96311191--1.96292017) × cos(0.38244477) × R
    0.000191739999999996 × 0.927755045977215 × 6371000     		du = 1133.32287127732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38262265)-sin(0.38244477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927688648310687-0.927755045977215)×R²
    abs(-1.96292017--1.96311191)×6.63976665281618e-05×R²
    0.000191739999999996×6.63976665281618e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.63976665281618e-05×40589641000000     		ar = 1284318.79790981m²