Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6146 / 2054
N 66.407955°
E 90.087891°
← 1 955.68 m → N 66.407955°
E 90.131836°

1 956.34 m

1 956.34 m
N 66.390362°
E 90.087891°
← 1 957.06 m →
3 827 328 m²
N 66.390362°
E 90.131836°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75030517578125 y=0.25079345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75030517578125 × 213)
    floor (0.75030517578125 × 8192)
    floor (6146.5)
    tx = 6146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25079345703125 × 213)
    floor (0.25079345703125 × 8192)
    floor (2054.5)
    ty = 2054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6146 / 2054 ti = "13/6146/2054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6146/2054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6146 ÷ 213
    6146 ÷ 8192
    x = 0.750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2054 ÷ 213
    2054 ÷ 8192
    y = 0.250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    0.50048828125 × 3.1415926535
    Λ = 1.57233031
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.250732421875 × 2 - 1) × π
    0.49853515625 × 3.1415926535
    Φ = 1.56619438438647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57233031} λ = 1.57233031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56619438438647))-π/2
    2×atan(4.78839070089504)-π/2
    2×1.36491689970855-π/2
    2.7298337994171-1.57079632675
    φ = 1.15903747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57233031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15903747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.407955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6146 KachelY 2054 1.57233031 1.15903747 90.087891 66.407955
    Oben rechts KachelX + 1 6147 KachelY 2054 1.57309730 1.15903747 90.131836 66.407955
    Unten links KachelX 6146 KachelY + 1 2055 1.57233031 1.15873040 90.087891 66.390362
    Unten rechts KachelX + 1 6147 KachelY + 1 2055 1.57309730 1.15873040 90.131836 66.390362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.15903747-1.15873040) × R
    0.000307069999999854 × 6371000
    dl = 1956.34296999907m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.15903747-1.15873040) × R
    0.000307069999999854 × 6371000
    dr = 1956.34296999907m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.57233031-1.57309730) × cos(1.15903747) × R
    0.000766990000000023 × 0.400221794779465 × 6371000
    do = 1955.68111470167m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.57233031-1.57309730) × cos(1.15873040) × R
    0.000766990000000023 × 0.400503180475984 × 6371000
    du = 1957.05610401961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.15903747)-sin(1.15873040))×
    abs(λ12)×abs(0.400221794779465-0.400503180475984)×
    abs(1.57309730-1.57233031)×0.000281385696518921×
    0.000766990000000023×0.000281385696518921×6371000²
    0.000766990000000023×0.000281385696518921×40589641000000
    ar = 3827328.00572031m²