Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61472 / 94240
↖ ↑ ↗
← S 61.648162°
W 11.162109°		 ← 145.04 m → S 61.648162°
W 11.159363°		 →
↑
145.07 m
↓
↑
145.07 m
↓
S 61.649467°
W 11.162109°		 ← 145.04 m →
21 040 m²		 S 61.649467°
W 11.159363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468997955322266 y=0.718997955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468997955322266 × 217)
    floor (0.468997955322266 × 131072)
    floor (61472.5)     		tx = 61472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718997955322266 × 217)
    floor (0.718997955322266 × 131072)
    floor (94240.5)     		ty = 94240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61472 / 94240 ti = "17/61472/94240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61472/94240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61472 ÷ 217
    61472 ÷ 131072     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94240 ÷ 217
    94240 ÷ 131072     		y = 0.718994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718994140625 × 2 - 1) × π
    -0.43798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37598076669409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37598076669409))-π/2
    2×atan(0.25259174071411)-π/2
    2×0.247416457053984-π/2
    0.494832914107969-1.57079632675     		φ = -1.07596341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07596341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.648162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61472 KachelY 94240 -0.19481556 -1.07596341 -11.162109 -61.648162
    Oben rechts KachelX + 1 61473 KachelY 94240 -0.19476762 -1.07596341 -11.159363 -61.648162
    Unten links KachelX 61472 KachelY + 1 94241 -0.19481556 -1.07598618 -11.162109 -61.649467
    Unten rechts KachelX + 1 61473 KachelY + 1 94241 -0.19476762 -1.07598618 -11.159363 -61.649467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07596341--1.07598618) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dl = 145.06766999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07596341--1.07598618) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dr = 145.06766999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19476762) × cos(-1.07596341) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.474884616648524 × 6371000     		do = 145.041985454481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19476762) × cos(-1.07598618) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.474864577830924 × 6371000     		du = 145.035865083786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07596341)-sin(-1.07598618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474884616648524-0.474864577830924)×R²
    abs(-0.19476762--0.19481556)×2.00388175995436e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.00388175995436e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.00388175995436e-05×40589641000000     		ar = 21040.4589487672m²