Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6148 / 10251
↖ ↑ ↗
← S 41.162114°
W 44.912109°		 ← 1 839.37 m → S 41.162114°
W 44.890137°		 →
↑
1 839.12 m
↓
↑
1 839.12 m
↓
S 41.178654°
W 44.912109°		 ← 1 838.91 m →
3 382 398 m²		 S 41.178654°
W 44.890137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375274658203125 y=0.625701904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375274658203125 × 214)
    floor (0.375274658203125 × 16384)
    floor (6148.5)     		tx = 6148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625701904296875 × 214)
    floor (0.625701904296875 × 16384)
    floor (10251.5)     		ty = 10251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6148 / 10251 ti = "14/6148/10251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6148/10251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6148 ÷ 214
    6148 ÷ 16384     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10251 ÷ 214
    10251 ÷ 16384     		y = 0.62567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.2513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.789616610541565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789616610541565))-π/2
    2×atan(0.454018827951646)-π/2
    2×0.426190955744179-π/2
    0.852381911488358-1.57079632675     		φ = -0.71841442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71841442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.162114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6148 KachelY 10251 -0.78386418 -0.71841442 -44.912109 -41.162114
    Oben rechts KachelX + 1 6149 KachelY 10251 -0.78348069 -0.71841442 -44.890137 -41.162114
    Unten links KachelX 6148 KachelY + 1 10252 -0.78386418 -0.71870309 -44.912109 -41.178654
    Unten rechts KachelX + 1 6149 KachelY + 1 10252 -0.78348069 -0.71870309 -44.890137 -41.178654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71841442--0.71870309) × R
    0.000288669999999991 × 6371000     		dl = 1839.11656999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71841442--0.71870309) × R
    0.000288669999999991 × 6371000     		dr = 1839.11656999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78348069) × cos(-0.71841442) × R
    0.000383490000000042 × 0.752850290807364 × 6371000     		do = 1839.37496515655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78348069) × cos(-0.71870309) × R
    0.000383490000000042 × 0.752660259216756 × 6371000     		du = 1838.91067716381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71841442)-sin(-0.71870309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752850290807364-0.752660259216756)×R²
    abs(-0.78348069--0.78386418)×0.000190031590607154×R²
    0.000383490000000042×0.000190031590607154×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190031590607154×40589641000000     		ar = 3382398.06048097m²