Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6148 / 14339
↖ ↑ ↗
← S 79.183712°
W 44.912109°		 ← 458.50 m → S 79.183712°
W 44.890137°		 →
↑
458.39 m
↓
↑
458.39 m
↓
S 79.187835°
W 44.912109°		 ← 458.32 m →
210 132 m²		 S 79.187835°
W 44.890137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375274658203125 y=0.875213623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375274658203125 × 214)
    floor (0.375274658203125 × 16384)
    floor (6148.5)     		tx = 6148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875213623046875 × 214)
    floor (0.875213623046875 × 16384)
    floor (14339.5)     		ty = 14339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6148 / 14339 ti = "14/6148/14339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6148/14339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6148 ÷ 214
    6148 ÷ 16384     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14339 ÷ 214
    14339 ÷ 16384     		y = 0.87518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.7503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35734497571588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35734497571588))-π/2
    2×atan(0.0946712442678637)-π/2
    2×0.0943899206654044-π/2
    0.188779841330809-1.57079632675     		φ = -1.38201649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38201649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.183712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6148 KachelY 14339 -0.78386418 -1.38201649 -44.912109 -79.183712
    Oben rechts KachelX + 1 6149 KachelY 14339 -0.78348069 -1.38201649 -44.890137 -79.183712
    Unten links KachelX 6148 KachelY + 1 14340 -0.78386418 -1.38208844 -44.912109 -79.187835
    Unten rechts KachelX + 1 6149 KachelY + 1 14340 -0.78348069 -1.38208844 -44.890137 -79.187835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38201649--1.38208844) × R
    7.19499999999318e-05 × 6371000     		dl = 458.393449999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38201649--1.38208844) × R
    7.19499999999318e-05 × 6371000     		dr = 458.393449999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78348069) × cos(-1.38201649) × R
    0.000383490000000042 × 0.187660549252491 × 6371000     		do = 458.495029433259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78348069) × cos(-1.38208844) × R
    0.000383490000000042 × 0.187589877034631 × 6371000     		du = 458.322362025343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38201649)-sin(-1.38208844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187660549252491-0.187589877034631)×R²
    abs(-0.78348069--0.78386418)×7.06722178593078e-05×R²
    0.000383490000000042×7.06722178593078e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.06722178593078e-05×40589641000000     		ar = 210131.543637281m²