Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6148 / 6149
↖ ↑ ↗
← S 66.600676°
E 90.175781°		 ← 1 940.61 m → S 66.600676°
E 90.219727°		 →
↑
1 939.91 m
↓
↑
1 939.91 m
↓
S 66.618122°
E 90.175781°		 ← 1 939.24 m →
3 763 271 m²		 S 66.618122°
E 90.219727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75054931640625 y=0.75067138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75054931640625 × 213)
    floor (0.75054931640625 × 8192)
    floor (6148.5)     		tx = 6148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75067138671875 × 213)
    floor (0.75067138671875 × 8192)
    floor (6149.5)     		ty = 6149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6148 / 6149 ti = "13/6148/6149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6148/6149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6148 ÷ 213
    6148 ÷ 8192     		x = 0.75048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6149 ÷ 213
    6149 ÷ 8192     		y = 0.7506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57386429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5746312787196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57386429} λ = 1.57386429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5746312787196))-π/2
    2×atan(0.207083894844654)-π/2
    2×0.204197625780241-π/2
    0.408395251560481-1.57079632675     		φ = -1.16240108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57386429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16240108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.600676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6148 KachelY 6149 1.57386429 -1.16240108 90.175781 -66.600676
    Oben rechts KachelX + 1 6149 KachelY 6149 1.57463128 -1.16240108 90.219727 -66.600676
    Unten links KachelX 6148 KachelY + 1 6150 1.57386429 -1.16270557 90.175781 -66.618122
    Unten rechts KachelX + 1 6149 KachelY + 1 6150 1.57463128 -1.16270557 90.219727 -66.618122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16240108--1.16270557) × R
    0.000304489999999991 × 6371000     		dl = 1939.90578999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16240108--1.16270557) × R
    0.000304489999999991 × 6371000     		dr = 1939.90578999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57386429-1.57463128) × cos(-1.16240108) × R
    0.000766990000000023 × 0.397137062780417 × 6371000     		do = 1940.60759248688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57386429-1.57463128) × cos(-1.16270557) × R
    0.000766990000000023 × 0.396857595841942 × 6371000     		du = 1939.24197916724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16240108)-sin(-1.16270557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397137062780417-0.396857595841942)×R²
    abs(1.57463128-1.57386429)×0.000279466938475526×R²
    0.000766990000000023×0.000279466938475526×6371000²
    0.000766990000000023×0.000279466938475526×40589641000000     		ar = 3763271.35326701m²