Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6150 / 10238
↖ ↑ ↗
← S 40.946714°
W 44.868164°		 ← 1 845.41 m → S 40.946714°
W 44.846192°		 →
↑
1 845.23 m
↓
↑
1 845.23 m
↓
S 40.963308°
W 44.868164°		 ← 1 844.94 m →
3 404 778 m²		 S 40.963308°
W 44.846192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375396728515625 y=0.624908447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375396728515625 × 214)
    floor (0.375396728515625 × 16384)
    floor (6150.5)     		tx = 6150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624908447265625 × 214)
    floor (0.624908447265625 × 16384)
    floor (10238.5)     		ty = 10238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6150 / 10238 ti = "14/6150/10238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6150/10238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6150 ÷ 214
    6150 ÷ 16384     		x = 0.3753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10238 ÷ 214
    10238 ÷ 16384     		y = 0.6248779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78309719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.249755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.784631172981079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78309719} λ = -0.78309719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784631172981079))-π/2
    2×atan(0.456287962083084)-π/2
    2×0.428070677742417-π/2
    0.856141355484835-1.57079632675     		φ = -0.71465497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78309719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.868164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71465497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.946714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6150 KachelY 10238 -0.78309719 -0.71465497 -44.868164 -40.946714
    Oben rechts KachelX + 1 6151 KachelY 10238 -0.78271370 -0.71465497 -44.846192 -40.946714
    Unten links KachelX 6150 KachelY + 1 10239 -0.78309719 -0.71494460 -44.868164 -40.963308
    Unten rechts KachelX + 1 6151 KachelY + 1 10239 -0.78271370 -0.71494460 -44.846192 -40.963308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71465497--0.71494460) × R
    0.000289630000000041 × 6371000     		dl = 1845.23273000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71465497--0.71494460) × R
    0.000289630000000041 × 6371000     		dr = 1845.23273000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78309719--0.78271370) × cos(-0.71465497) × R
    0.000383490000000042 × 0.755319403939046 × 6371000     		do = 1845.40753887806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78309719--0.78271370) × cos(-0.71494460) × R
    0.000383490000000042 × 0.755129561257668 × 6371000     		du = 1844.94371243115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71465497)-sin(-0.71494460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755319403939046-0.755129561257668)×R²
    abs(-0.78271370--0.78309719)×0.000189842681377783×R²
    0.000383490000000042×0.000189842681377783×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189842681377783×40589641000000     		ar = 3404778.48085681m²