Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6150 / 6150
↖ ↑ ↗
← S 66.618122°
E 90.263672°		 ← 1 939.24 m → S 66.618122°
E 90.307617°		 →
↑
1 938.57 m
↓
↑
1 938.57 m
↓
S 66.635556°
E 90.263672°		 ← 1 937.88 m →
3 758 029 m²		 S 66.635556°
E 90.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75079345703125 y=0.75079345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75079345703125 × 213)
    floor (0.75079345703125 × 8192)
    floor (6150.5)     		tx = 6150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75079345703125 × 213)
    floor (0.75079345703125 × 8192)
    floor (6150.5)     		ty = 6150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6150 / 6150 ti = "13/6150/6150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6150/6150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6150 ÷ 213
    6150 ÷ 8192     		x = 0.750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6150 ÷ 213
    6150 ÷ 8192     		y = 0.750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750732421875 × 2 - 1) × π
    0.50146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57539827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750732421875 × 2 - 1) × π
    -0.50146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57539826911353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57539827} λ = 1.57539827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57539826911353))-π/2
    2×atan(0.206925124382066)-π/2
    2×0.204045379215228-π/2
    0.408090758430456-1.57079632675     		φ = -1.16270557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57539827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16270557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.618122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6150 KachelY 6150 1.57539827 -1.16270557 90.263672 -66.618122
    Oben rechts KachelX + 1 6151 KachelY 6150 1.57616526 -1.16270557 90.307617 -66.618122
    Unten links KachelX 6150 KachelY + 1 6151 1.57539827 -1.16300985 90.263672 -66.635556
    Unten rechts KachelX + 1 6151 KachelY + 1 6151 1.57616526 -1.16300985 90.307617 -66.635556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16270557--1.16300985) × R
    0.000304279999999935 × 6371000     		dl = 1938.56787999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16270557--1.16300985) × R
    0.000304279999999935 × 6371000     		dr = 1938.56787999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57539827-1.57616526) × cos(-1.16270557) × R
    0.000766990000000023 × 0.396857595841942 × 6371000     		do = 1939.24197916724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57539827-1.57616526) × cos(-1.16300985) × R
    0.000766990000000023 × 0.396578284889347 × 6371000     		du = 1937.87712807156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16270557)-sin(-1.16300985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396857595841942-0.396578284889347)×R²
    abs(1.57616526-1.57539827)×0.000279310952594758×R²
    0.000766990000000023×0.000279310952594758×6371000²
    0.000766990000000023×0.000279310952594758×40589641000000     		ar = 3758029.31310656m²