Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6151 / 2057
↖ ↑ ↗
← N 66.355136°
E 90.307617°		 ← 1 959.81 m → N 66.355136°
E 90.351563°		 →
↑
1 960.48 m
↓
↑
1 960.48 m
↓
N 66.337505°
E 90.307617°		 ← 1 961.19 m →
3 843 524 m²		 N 66.337505°
E 90.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75091552734375 y=0.25115966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75091552734375 × 213)
    floor (0.75091552734375 × 8192)
    floor (6151.5)     		tx = 6151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25115966796875 × 213)
    floor (0.25115966796875 × 8192)
    floor (2057.5)     		ty = 2057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6151 / 2057 ti = "13/6151/2057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6151/2057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6151 ÷ 213
    6151 ÷ 8192     		x = 0.7508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2057 ÷ 213
    2057 ÷ 8192     		y = 0.2510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7508544921875 × 2 - 1) × π
    0.501708984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57616526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2510986328125 × 2 - 1) × π
    0.497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56389341320471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57616526} λ = 1.57616526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56389341320471))-π/2
    2×atan(4.77738541816006)-π/2
    2×1.36445596456331-π/2
    2.72891192912661-1.57079632675     		φ = 1.15811560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57616526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15811560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.355136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6151 KachelY 2057 1.57616526 1.15811560 90.307617 66.355136
    Oben rechts KachelX + 1 6152 KachelY 2057 1.57693225 1.15811560 90.351563 66.355136
    Unten links KachelX 6151 KachelY + 1 2058 1.57616526 1.15780788 90.307617 66.337505
    Unten rechts KachelX + 1 6152 KachelY + 1 2058 1.57693225 1.15780788 90.351563 66.337505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15811560-1.15780788) × R
    0.0003077199999999 × 6371000     		dl = 1960.48411999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15811560-1.15780788) × R
    0.0003077199999999 × 6371000     		dr = 1960.48411999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57616526-1.57693225) × cos(1.15811560) × R
    0.000766990000000023 × 0.401066443142179 × 6371000     		do = 1959.80848325848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57616526-1.57693225) × cos(1.15780788) × R
    0.000766990000000023 × 0.40134831073675 × 6371000     		du = 1961.18582736802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15811560)-sin(1.15780788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401066443142179-0.40134831073675)×R²
    abs(1.57693225-1.57616526)×0.000281867594570273×R²
    0.000766990000000023×0.000281867594570273×6371000²
    0.000766990000000023×0.000281867594570273×40589641000000     		ar = 3843523.57062607m²