Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6152 / 14360
↖ ↑ ↗
← S 79.269962°
W 44.824219°		 ← 454.88 m → S 79.269962°
W 44.802246°		 →
↑
454.76 m
↓
↑
454.76 m
↓
S 79.274051°
W 44.824219°		 ← 454.71 m →
206 824 m²		 S 79.274051°
W 44.802246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375518798828125 y=0.876495361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375518798828125 × 214)
    floor (0.375518798828125 × 16384)
    floor (6152.5)     		tx = 6152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876495361328125 × 214)
    floor (0.876495361328125 × 16384)
    floor (14360.5)     		ty = 14360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6152 / 14360 ti = "14/6152/14360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6152/14360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6152 ÷ 214
    6152 ÷ 16384     		x = 0.37548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14360 ÷ 214
    14360 ÷ 16384     		y = 0.87646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87646484375 × 2 - 1) × π
    -0.7529296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36539837485205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78233020} λ = -0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36539837485205))-π/2
    2×atan(0.0939118807838503)-π/2
    2×0.0936372491425956-π/2
    0.187274498285191-1.57079632675     		φ = -1.38352183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38352183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.269962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6152 KachelY 14360 -0.78233020 -1.38352183 -44.824219 -79.269962
    Oben rechts KachelX + 1 6153 KachelY 14360 -0.78194671 -1.38352183 -44.802246 -79.269962
    Unten links KachelX 6152 KachelY + 1 14361 -0.78233020 -1.38359321 -44.824219 -79.274051
    Unten rechts KachelX + 1 6153 KachelY + 1 14361 -0.78194671 -1.38359321 -44.802246 -79.274051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38352183--1.38359321) × R
    7.13799999998432e-05 × 6371000     		dl = 454.761979999001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38352183--1.38359321) × R
    7.13799999998432e-05 × 6371000     		dr = 454.761979999001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78233020--0.78194671) × cos(-1.38352183) × R
    0.000383489999999931 × 0.186181741143653 × 6371000     		do = 454.881983590042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78233020--0.78194671) × cos(-1.38359321) × R
    0.000383489999999931 × 0.186111608725673 × 6371000     		du = 454.710635029176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38352183)-sin(-1.38359321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186181741143653-0.186111608725673)×R²
    abs(-0.78194671--0.78233020)×7.01324179795682e-05×R²
    0.000383489999999931×7.01324179795682e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.01324179795682e-05×40589641000000     		ar = 206824.070205277m²