Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6152 / 2072
↖ ↑ ↗
← N 66.089364°
E 90.351563°		 ← 1 980.55 m → N 66.089364°
E 90.395508°		 →
↑
1 981.25 m
↓
↑
1 981.25 m
↓
N 66.071547°
E 90.351563°		 ← 1 981.94 m →
3 925 350 m²		 N 66.071547°
E 90.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75103759765625 y=0.25299072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75103759765625 × 213)
    floor (0.75103759765625 × 8192)
    floor (6152.5)     		tx = 6152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25299072265625 × 213)
    floor (0.25299072265625 × 8192)
    floor (2072.5)     		ty = 2072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6152 / 2072 ti = "13/6152/2072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6152/2072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6152 ÷ 213
    6152 ÷ 8192     		x = 0.7509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2072 ÷ 213
    2072 ÷ 8192     		y = 0.2529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57693225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2529296875 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5523885572959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57693225} λ = 1.57693225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5523885572959))-π/2
    2×atan(4.72273724973074)-π/2
    2×1.36213666692326-π/2
    2.72427333384653-1.57079632675     		φ = 1.15347701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57693225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15347701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.089364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6152 KachelY 2072 1.57693225 1.15347701 90.351563 66.089364
    Oben rechts KachelX + 1 6153 KachelY 2072 1.57769924 1.15347701 90.395508 66.089364
    Unten links KachelX 6152 KachelY + 1 2073 1.57693225 1.15316603 90.351563 66.071547
    Unten rechts KachelX + 1 6153 KachelY + 1 2073 1.57769924 1.15316603 90.395508 66.071547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15347701-1.15316603) × R
    0.000310980000000072 × 6371000     		dl = 1981.25358000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15347701-1.15316603) × R
    0.000310980000000072 × 6371000     		dr = 1981.25358000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57693225-1.57769924) × cos(1.15347701) × R
    0.000766990000000023 × 0.405311288708903 × 6371000     		do = 1980.55089263737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57693225-1.57769924) × cos(1.15316603) × R
    0.000766990000000023 × 0.405595560408748 × 6371000     		du = 1981.9399843912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15347701)-sin(1.15316603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405311288708903-0.405595560408748)×R²
    abs(1.57769924-1.57693225)×0.000284271699844851×R²
    0.000766990000000023×0.000284271699844851×6371000²
    0.000766990000000023×0.000284271699844851×40589641000000     		ar = 3925349.64954893m²