Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6152 / 6152
↖ ↑ ↗
← S 66.652977°
E 90.351563°		 ← 1 936.51 m → S 66.652977°
E 90.395508°		 →
↑
1 935.83 m
↓
↑
1 935.83 m
↓
S 66.670387°
E 90.351563°		 ← 1 935.15 m →
3 747 437 m²		 S 66.670387°
E 90.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75103759765625 y=0.75103759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75103759765625 × 213)
    floor (0.75103759765625 × 8192)
    floor (6152.5)     		tx = 6152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75103759765625 × 213)
    floor (0.75103759765625 × 8192)
    floor (6152.5)     		ty = 6152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6152 / 6152 ti = "13/6152/6152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6152/6152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6152 ÷ 213
    6152 ÷ 8192     		x = 0.7509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6152 ÷ 213
    6152 ÷ 8192     		y = 0.7509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57693225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    -0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57693225} λ = 1.57693225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57693224990137))-π/2
    2×atan(0.206607948549754)-π/2
    2×0.203741207457871-π/2
    0.407482414915741-1.57079632675     		φ = -1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57693225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6152 KachelY 6152 1.57693225 -1.16331391 90.351563 -66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 6153 KachelY 6152 1.57769924 -1.16331391 90.395508 -66.652977
    Unten links KachelX 6152 KachelY + 1 6153 1.57693225 -1.16361776 90.351563 -66.670387
    Unten rechts KachelX + 1 6153 KachelY + 1 6153 1.57769924 -1.16361776 90.395508 -66.670387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16331391--1.16361776) × R
    0.000303849999999883 × 6371000     		dl = 1935.82834999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16331391--1.16361776) × R
    0.000303849999999883 × 6371000     		dr = 1935.82834999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57693225-1.57769924) × cos(-1.16331391) × R
    0.000766990000000023 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 1936.51308456177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57693225-1.57769924) × cos(-1.16361776) × R
    0.000766990000000023 × 0.396020149714119 × 6371000     		du = 1935.1498042829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16331391)-sin(-1.16361776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.396020149714119)×R²
    abs(1.57769924-1.57693225)×0.000278989491638126×R²
    0.000766990000000023×0.000278989491638126×6371000²
    0.000766990000000023×0.000278989491638126×40589641000000     		ar = 3747437.41976481m²