Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6153 / 10247
↖ ↑ ↗
← S 41.095912°
W 44.802246°		 ← 1 841.28 m → S 41.095912°
W 44.780273°		 →
↑
1 841.03 m
↓
↑
1 841.03 m
↓
S 41.112469°
W 44.802246°		 ← 1 840.82 m →
3 389 420 m²		 S 41.112469°
W 44.780273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375579833984375 y=0.625457763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375579833984375 × 214)
    floor (0.375579833984375 × 16384)
    floor (6153.5)     		tx = 6153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625457763671875 × 214)
    floor (0.625457763671875 × 16384)
    floor (10247.5)     		ty = 10247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6153 / 10247 ti = "14/6153/10247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6153/10247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6153 ÷ 214
    6153 ÷ 16384     		x = 0.37554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10247 ÷ 214
    10247 ÷ 16384     		y = 0.62542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78194671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.2508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.788082629753723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78194671} λ = -0.78194671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788082629753723))-π/2
    2×atan(0.45471581855947)-π/2
    2×0.426768676158869-π/2
    0.853537352317737-1.57079632675     		φ = -0.71725897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78194671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71725897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.095912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6153 KachelY 10247 -0.78194671 -0.71725897 -44.802246 -41.095912
    Oben rechts KachelX + 1 6154 KachelY 10247 -0.78156321 -0.71725897 -44.780273 -41.095912
    Unten links KachelX 6153 KachelY + 1 10248 -0.78194671 -0.71754794 -44.802246 -41.112469
    Unten rechts KachelX + 1 6154 KachelY + 1 10248 -0.78156321 -0.71754794 -44.780273 -41.112469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71725897--0.71754794) × R
    0.000288969999999944 × 6371000     		dl = 1841.02786999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71725897--0.71754794) × R
    0.000288969999999944 × 6371000     		dr = 1841.02786999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78194671--0.78156321) × cos(-0.71725897) × R
    0.000383500000000092 × 0.753610295796356 × 6371000     		do = 1841.27983309832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78194671--0.78156321) × cos(-0.71754794) × R
    0.000383500000000092 × 0.753420318147633 × 6371000     		du = 1840.81566479371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71725897)-sin(-0.71754794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753610295796356-0.753420318147633)×R²
    abs(-0.78156321--0.78194671)×0.000189977648722306×R²
    0.000383500000000092×0.000189977648722306×6371000²
    0.000383500000000092×0.000189977648722306×40589641000000     		ar = 3389420.23939573m²