Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6153 / 2055
↖ ↑ ↗
← N 66.390362°
E 90.395508°		 ← 1 957.06 m → N 66.390362°
E 90.439453°		 →
↑
1 957.74 m
↓
↑
1 957.74 m
↓
N 66.372755°
E 90.395508°		 ← 1 958.43 m →
3 832 763 m²		 N 66.372755°
E 90.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75115966796875 y=0.25091552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75115966796875 × 213)
    floor (0.75115966796875 × 8192)
    floor (6153.5)     		tx = 6153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25091552734375 × 213)
    floor (0.25091552734375 × 8192)
    floor (2055.5)     		ty = 2055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6153 / 2055 ti = "13/6153/2055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6153/2055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6153 ÷ 213
    6153 ÷ 8192     		x = 0.7510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2055 ÷ 213
    2055 ÷ 8192     		y = 0.2508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7510986328125 × 2 - 1) × π
    0.502197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57769924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2508544921875 × 2 - 1) × π
    0.498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.56542739399255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57769924} λ = 1.57769924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56542739399255))-π/2
    2×atan(4.7847194593086)-π/2
    2×1.3647633626228-π/2
    2.72952672524561-1.57079632675     		φ = 1.15873040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57769924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15873040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.390362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6153 KachelY 2055 1.57769924 1.15873040 90.395508 66.390362
    Oben rechts KachelX + 1 6154 KachelY 2055 1.57846623 1.15873040 90.439453 66.390362
    Unten links KachelX 6153 KachelY + 1 2056 1.57769924 1.15842311 90.395508 66.372755
    Unten rechts KachelX + 1 6154 KachelY + 1 2056 1.57846623 1.15842311 90.439453 66.372755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15873040-1.15842311) × R
    0.000307290000000071 × 6371000     		dl = 1957.74459000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15873040-1.15842311) × R
    0.000307290000000071 × 6371000     		dr = 1957.74459000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57769924-1.57846623) × cos(1.15873040) × R
    0.000766990000000023 × 0.400503180475984 × 6371000     		do = 1957.05610401961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57769924-1.57846623) × cos(1.15842311) × R
    0.000766990000000023 × 0.400784729966169 × 6371000     		du = 1958.43189371421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15873040)-sin(1.15842311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400503180475984-0.400784729966169)×R²
    abs(1.57846623-1.57769924)×0.000281549490185329×R²
    0.000766990000000023×0.000281549490185329×6371000²
    0.000766990000000023×0.000281549490185329×40589641000000     		ar = 3832762.75254855m²