Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6153 / 6151
↖ ↑ ↗
← S 66.635556°
E 90.395508°		 ← 1 937.88 m → S 66.635556°
E 90.439453°		 →
↑
1 937.17 m
↓
↑
1 937.17 m
↓
S 66.652977°
E 90.395508°		 ← 1 936.51 m →
3 752 669 m²		 S 66.652977°
E 90.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75115966796875 y=0.75091552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75115966796875 × 213)
    floor (0.75115966796875 × 8192)
    floor (6153.5)     		tx = 6153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75091552734375 × 213)
    floor (0.75091552734375 × 8192)
    floor (6151.5)     		ty = 6151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6153 / 6151 ti = "13/6153/6151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6153/6151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6153 ÷ 213
    6153 ÷ 8192     		x = 0.7510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6151 ÷ 213
    6151 ÷ 8192     		y = 0.7508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7510986328125 × 2 - 1) × π
    0.502197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57769924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57616525950745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57769924} λ = 1.57769924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57616525950745))-π/2
    2×atan(0.206766475648209)-π/2
    2×0.203893239794881-π/2
    0.407786479589762-1.57079632675     		φ = -1.16300985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57769924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16300985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.635556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6153 KachelY 6151 1.57769924 -1.16300985 90.395508 -66.635556
    Oben rechts KachelX + 1 6154 KachelY 6151 1.57846623 -1.16300985 90.439453 -66.635556
    Unten links KachelX 6153 KachelY + 1 6152 1.57769924 -1.16331391 90.395508 -66.652977
    Unten rechts KachelX + 1 6154 KachelY + 1 6152 1.57846623 -1.16331391 90.439453 -66.652977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16300985--1.16331391) × R
    0.000304060000000161 × 6371000     		dl = 1937.16626000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16300985--1.16331391) × R
    0.000304060000000161 × 6371000     		dr = 1937.16626000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57769924-1.57846623) × cos(-1.16300985) × R
    0.000766990000000023 × 0.396578284889347 × 6371000     		do = 1937.87712807156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57769924-1.57846623) × cos(-1.16331391) × R
    0.000766990000000023 × 0.396299139205757 × 6371000     		du = 1936.51308456177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16300985)-sin(-1.16331391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396578284889347-0.396299139205757)×R²
    abs(1.57846623-1.57769924)×0.000279145683590054×R²
    0.000766990000000023×0.000279145683590054×6371000²
    0.000766990000000023×0.000279145683590054×40589641000000     		ar = 3752669.02790706m²