Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6154 / 10250
↖ ↑ ↗
← S 41.145569°
W 44.780273°		 ← 1 839.84 m → S 41.145569°
W 44.758301°		 →
↑
1 839.69 m
↓
↑
1 839.69 m
↓
S 41.162114°
W 44.780273°		 ← 1 839.37 m →
3 384 307 m²		 S 41.162114°
W 44.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375640869140625 y=0.625640869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375640869140625 × 214)
    floor (0.375640869140625 × 16384)
    floor (6154.5)     		tx = 6154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625640869140625 × 214)
    floor (0.625640869140625 × 16384)
    floor (10250.5)     		ty = 10250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6154 / 10250 ti = "14/6154/10250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6154/10250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6154 ÷ 214
    6154 ÷ 16384     		x = 0.3756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10250 ÷ 214
    10250 ÷ 16384     		y = 0.6256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78156321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.789233115344604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78156321} λ = -0.78156321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789233115344604))-π/2
    2×atan(0.454192975381713)-π/2
    2×0.426335331198425-π/2
    0.85267066239685-1.57079632675     		φ = -0.71812566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78156321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71812566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.145569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6154 KachelY 10250 -0.78156321 -0.71812566 -44.780273 -41.145569
    Oben rechts KachelX + 1 6155 KachelY 10250 -0.78117972 -0.71812566 -44.758301 -41.145569
    Unten links KachelX 6154 KachelY + 1 10251 -0.78156321 -0.71841442 -44.780273 -41.162114
    Unten rechts KachelX + 1 6155 KachelY + 1 10251 -0.78117972 -0.71841442 -44.758301 -41.162114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71812566--0.71841442) × R
    0.000288759999999999 × 6371000     		dl = 1839.68995999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71812566--0.71841442) × R
    0.000288759999999999 × 6371000     		dr = 1839.68995999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78156321--0.78117972) × cos(-0.71812566) × R
    0.000383489999999931 × 0.753040318880375 × 6371000     		do = 1839.83924455452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78156321--0.78117972) × cos(-0.71841442) × R
    0.000383489999999931 × 0.752850290807364 × 6371000     		du = 1839.37496515602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71812566)-sin(-0.71841442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753040318880375-0.752850290807364)×R²
    abs(-0.78117972--0.78156321)×0.000190028073011828×R²
    0.000383489999999931×0.000190028073011828×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190028073011828×40589641000000     		ar = 3384306.74466226m²