Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6156 / 10236
↖ ↑ ↗
← S 40.913512°
W 44.736328°		 ← 1 846.34 m → S 40.913512°
W 44.714356°		 →
↑
1 846.12 m
↓
↑
1 846.12 m
↓
S 40.930115°
W 44.736328°		 ← 1 845.87 m →
3 408 137 m²		 S 40.930115°
W 44.714356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375762939453125 y=0.624786376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375762939453125 × 214)
    floor (0.375762939453125 × 16384)
    floor (6156.5)     		tx = 6156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624786376953125 × 214)
    floor (0.624786376953125 × 16384)
    floor (10236.5)     		ty = 10236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6156 / 10236 ti = "14/6156/10236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6156/10236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6156 ÷ 214
    6156 ÷ 16384     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10236 ÷ 214
    10236 ÷ 16384     		y = 0.624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.783864182587158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783864182587158))-π/2
    2×atan(0.456638064812416)-π/2
    2×0.428360411901147-π/2
    0.856720823802294-1.57079632675     		φ = -0.71407550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71407550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.913512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6156 KachelY 10236 -0.78079622 -0.71407550 -44.736328 -40.913512
    Oben rechts KachelX + 1 6157 KachelY 10236 -0.78041273 -0.71407550 -44.714356 -40.913512
    Unten links KachelX 6156 KachelY + 1 10237 -0.78079622 -0.71436527 -44.736328 -40.930115
    Unten rechts KachelX + 1 6157 KachelY + 1 10237 -0.78041273 -0.71436527 -44.714356 -40.930115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71407550--0.71436527) × R
    0.000289770000000078 × 6371000     		dl = 1846.1246700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71407550--0.71436527) × R
    0.000289770000000078 × 6371000     		dr = 1846.1246700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78041273) × cos(-0.71407550) × R
    0.000383490000000042 × 0.75569903673778 × 6371000     		do = 1846.3350633467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78041273) × cos(-0.71436527) × R
    0.000383490000000042 × 0.755509229119713 × 6371000     		du = 1845.87132256698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71407550)-sin(-0.71436527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75569903673778-0.755509229119713)×R²
    abs(-0.78041273--0.78079622)×0.000189807618067084×R²
    0.000383490000000042×0.000189807618067084×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189807618067084×40589641000000     		ar = 3408136.67173095m²