Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6156 / 14348
↖ ↑ ↗
← S 79.220760°
W 44.736328°		 ← 456.94 m → S 79.220760°
W 44.714356°		 →
↑
456.86 m
↓
↑
456.86 m
↓
S 79.224868°
W 44.736328°		 ← 456.77 m →
208 722 m²		 S 79.224868°
W 44.714356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375762939453125 y=0.875762939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375762939453125 × 214)
    floor (0.375762939453125 × 16384)
    floor (6156.5)     		tx = 6156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875762939453125 × 214)
    floor (0.875762939453125 × 16384)
    floor (14348.5)     		ty = 14348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6156 / 14348 ti = "14/6156/14348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6156/14348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6156 ÷ 214
    6156 ÷ 16384     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14348 ÷ 214
    14348 ÷ 16384     		y = 0.875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.75146484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36079643248853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36079643248853))-π/2
    2×atan(0.0943450538006228)-π/2
    2×0.0940666178736466-π/2
    0.188133235747293-1.57079632675     		φ = -1.38266309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38266309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.220760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6156 KachelY 14348 -0.78079622 -1.38266309 -44.736328 -79.220760
    Oben rechts KachelX + 1 6157 KachelY 14348 -0.78041273 -1.38266309 -44.714356 -79.220760
    Unten links KachelX 6156 KachelY + 1 14349 -0.78079622 -1.38273480 -44.736328 -79.224868
    Unten rechts KachelX + 1 6157 KachelY + 1 14349 -0.78041273 -1.38273480 -44.714356 -79.224868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38266309--1.38273480) × R
    7.17099999998361e-05 × 6371000     		dl = 456.864409998956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38266309--1.38273480) × R
    7.17099999998361e-05 × 6371000     		dr = 456.864409998956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78041273) × cos(-1.38266309) × R
    0.000383490000000042 × 0.187025397599732 × 6371000     		do = 456.943217521345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78041273) × cos(-1.38273480) × R
    0.000383490000000042 × 0.186954952436226 × 6371000     		du = 456.771104855983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38266309)-sin(-1.38273480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187025397599732-0.186954952436226)×R²
    abs(-0.78041273--0.78079622)×7.04451635058223e-05×R²
    0.000383490000000042×7.04451635058223e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.04451635058223e-05×40589641000000     		ar = 208721.777490821m²