Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6159 / 10287
↖ ↑ ↗
← S 41.754922°
W 44.670410°		 ← 1 822.69 m → S 41.754922°
W 44.648437°		 →
↑
1 822.42 m
↓
↑
1 822.42 m
↓
S 41.771312°
W 44.670410°		 ← 1 822.22 m →
3 321 284 m²		 S 41.771312°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375946044921875 y=0.627899169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375946044921875 × 214)
    floor (0.375946044921875 × 16384)
    floor (6159.5)     		tx = 6159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627899169921875 × 214)
    floor (0.627899169921875 × 16384)
    floor (10287.5)     		ty = 10287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6159 / 10287 ti = "14/6159/10287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6159/10287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6159 ÷ 214
    6159 ÷ 16384     		x = 0.37591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10287 ÷ 214
    10287 ÷ 16384     		y = 0.62786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.2557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.803422437632141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77964574} λ = -0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803422437632141))-π/2
    2×atan(0.447793792274624)-π/2
    2×0.42101772803617-π/2
    0.842035456072341-1.57079632675     		φ = -0.72876087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72876087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.754922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6159 KachelY 10287 -0.77964574 -0.72876087 -44.670410 -41.754922
    Oben rechts KachelX + 1 6160 KachelY 10287 -0.77926224 -0.72876087 -44.648437 -41.754922
    Unten links KachelX 6159 KachelY + 1 10288 -0.77964574 -0.72904692 -44.670410 -41.771312
    Unten rechts KachelX + 1 6160 KachelY + 1 10288 -0.77926224 -0.72904692 -44.648437 -41.771312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72876087--0.72904692) × R
    0.000286050000000038 × 6371000     		dl = 1822.42455000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72876087--0.72904692) × R
    0.000286050000000038 × 6371000     		dr = 1822.42455000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77964574--0.77926224) × cos(-0.72876087) × R
    0.000383499999999981 × 0.746000168217831 × 6371000     		do = 1822.68617200292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77964574--0.77926224) × cos(-0.72904692) × R
    0.000383499999999981 × 0.745809643916539 × 6371000     		du = 1822.22066807384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72876087)-sin(-0.72904692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746000168217831-0.745809643916539)×R²
    abs(-0.77926224--0.77964574)×0.000190524301292738×R²
    0.000383499999999981×0.000190524301292738×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190524301292738×40589641000000     		ar = 3321283.87655731m²