Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6159 / 2065
↖ ↑ ↗
← N 66.213739°
E 90.659180°		 ← 1 970.85 m → N 66.213739°
E 90.703125°		 →
↑
1 971.51 m
↓
↑
1 971.51 m
↓
N 66.196009°
E 90.659180°		 ← 1 972.23 m →
3 886 905 m²		 N 66.196009°
E 90.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75189208984375 y=0.25213623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75189208984375 × 213)
    floor (0.75189208984375 × 8192)
    floor (6159.5)     		tx = 6159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25213623046875 × 213)
    floor (0.25213623046875 × 8192)
    floor (2065.5)     		ty = 2065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6159 / 2065 ti = "13/6159/2065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6159/2065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6159 ÷ 213
    6159 ÷ 8192     		x = 0.7518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2065 ÷ 213
    2065 ÷ 8192     		y = 0.2520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7518310546875 × 2 - 1) × π
    0.503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58230118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2520751953125 × 2 - 1) × π
    0.495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.55775749005334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58230118} λ = 1.58230118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55775749005334))-π/2
    2×atan(4.74816149792305)-π/2
    2×1.36322204481706-π/2
    2.72644408963412-1.57079632675     		φ = 1.15564776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58230118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15564776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.213739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6159 KachelY 2065 1.58230118 1.15564776 90.659180 66.213739
    Oben rechts KachelX + 1 6160 KachelY 2065 1.58306817 1.15564776 90.703125 66.213739
    Unten links KachelX 6159 KachelY + 1 2066 1.58230118 1.15533831 90.659180 66.196009
    Unten rechts KachelX + 1 6160 KachelY + 1 2066 1.58306817 1.15533831 90.703125 66.196009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15564776-1.15533831) × R
    0.000309449999999822 × 6371000     		dl = 1971.50594999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15564776-1.15533831) × R
    0.000309449999999822 × 6371000     		dr = 1971.50594999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58230118-1.58306817) × cos(1.15564776) × R
    0.000766990000000023 × 0.403325881834197 × 6371000     		do = 1970.8492152662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58230118-1.58306817) × cos(1.15533831) × R
    0.000766990000000023 × 0.403609026724576 × 6371000     		du = 1972.23280087313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15564776)-sin(1.15533831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403325881834197-0.403609026724576)×R²
    abs(1.58306817-1.58230118)×0.000283144890378395×R²
    0.000766990000000023×0.000283144890378395×6371000²
    0.000766990000000023×0.000283144890378395×40589641000000     		ar = 3886904.85909263m²