Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6160 / 14352
↖ ↑ ↗
← S 79.237185°
W 44.648437°		 ← 456.26 m → S 79.237185°
W 44.626465°		 →
↑
456.16 m
↓
↑
456.16 m
↓
S 79.241287°
W 44.648437°		 ← 456.08 m →
208 088 m²		 S 79.241287°
W 44.626465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376007080078125 y=0.876007080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376007080078125 × 214)
    floor (0.376007080078125 × 16384)
    floor (6160.5)     		tx = 6160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876007080078125 × 214)
    floor (0.876007080078125 × 16384)
    floor (14352.5)     		ty = 14352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6160 / 14352 ti = "14/6160/14352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6160/14352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6160 ÷ 214
    6160 ÷ 16384     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14352 ÷ 214
    14352 ÷ 16384     		y = 0.8759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8759765625 × 2 - 1) × π
    -0.751953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36233041327637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36233041327637))-π/2
    2×atan(0.0942004412454626)-π/2
    2×0.0939232792196468-π/2
    0.187846558439294-1.57079632675     		φ = -1.38294977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38294977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.237185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6160 KachelY 14352 -0.77926224 -1.38294977 -44.648437 -79.237185
    Oben rechts KachelX + 1 6161 KachelY 14352 -0.77887875 -1.38294977 -44.626465 -79.237185
    Unten links KachelX 6160 KachelY + 1 14353 -0.77926224 -1.38302137 -44.648437 -79.241287
    Unten rechts KachelX + 1 6161 KachelY + 1 14353 -0.77887875 -1.38302137 -44.626465 -79.241287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38294977--1.38302137) × R
    7.16000000000605e-05 × 6371000     		dl = 456.163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38294977--1.38302137) × R
    7.16000000000605e-05 × 6371000     		dr = 456.163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77887875) × cos(-1.38294977) × R
    0.000383490000000042 × 0.186743768364246 × 6371000     		do = 456.25513680791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77887875) × cos(-1.38302137) × R
    0.000383490000000042 × 0.186673427425948 × 6371000     		du = 456.083278787117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38294977)-sin(-1.38302137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186743768364246-0.186673427425948)×R²
    abs(-0.77887875--0.77926224)×7.03409382984133e-05×R²
    0.000383490000000042×7.03409382984133e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.03409382984133e-05×40589641000000     		ar = 208087.788125999m²