Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6160 / 2096
↖ ↑ ↗
← N 65.658274°
E 90.703125°		 ← 2 014.10 m → N 65.658274°
E 90.747070°		 →
↑
2 014.83 m
↓
↑
2 014.83 m
↓
N 65.640155°
E 90.703125°		 ← 2 015.51 m →
4 059 495 m²		 N 65.640155°
E 90.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75201416015625 y=0.25592041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75201416015625 × 213)
    floor (0.75201416015625 × 8192)
    floor (6160.5)     		tx = 6160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25592041015625 × 213)
    floor (0.25592041015625 × 8192)
    floor (2096.5)     		ty = 2096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6160 / 2096 ti = "13/6160/2096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6160/2096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6160 ÷ 213
    6160 ÷ 8192     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2096 ÷ 213
    2096 ÷ 8192     		y = 0.255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255859375 × 2 - 1) × π
    0.48828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5339807878418))-π/2
    2×atan(4.63659744441408)-π/2
    2×1.35837469916305-π/2
    2.7167493983261-1.57079632675     		φ = 1.14595307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14595307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.658274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6160 KachelY 2096 1.58306817 1.14595307 90.703125 65.658274
    Oben rechts KachelX + 1 6161 KachelY 2096 1.58383516 1.14595307 90.747070 65.658274
    Unten links KachelX 6160 KachelY + 1 2097 1.58306817 1.14563682 90.703125 65.640155
    Unten rechts KachelX + 1 6161 KachelY + 1 2097 1.58383516 1.14563682 90.747070 65.640155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14595307-1.14563682) × R
    0.000316250000000018 × 6371000     		dl = 2014.82875000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14595307-1.14563682) × R
    0.000316250000000018 × 6371000     		dr = 2014.82875000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.58383516) × cos(1.14595307) × R
    0.000766990000000023 × 0.412177977547995 × 6371000     		do = 2014.10492157411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.58383516) × cos(1.14563682) × R
    0.000766990000000023 × 0.41246609336591 × 6371000     		du = 2015.51279758509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14595307)-sin(1.14563682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412177977547995-0.41246609336591)×R²
    abs(1.58383516-1.58306817)×0.000288115817914658×R²
    0.000766990000000023×0.000288115817914658×6371000²
    0.000766990000000023×0.000288115817914658×40589641000000     		ar = 4059494.84987086m²