Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6160 / 6160
↖ ↑ ↗
← S 66.791909°
E 90.703125°		 ← 1 925.63 m → S 66.791909°
E 90.747070°		 →
↑
1 925 m
↓
↑
1 925 m
↓
S 66.809221°
E 90.703125°		 ← 1 924.27 m →
3 705 525 m²		 S 66.809221°
E 90.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75201416015625 y=0.75201416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75201416015625 × 213)
    floor (0.75201416015625 × 8192)
    floor (6160.5)     		tx = 6160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75201416015625 × 213)
    floor (0.75201416015625 × 8192)
    floor (6160.5)     		ty = 6160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6160 / 6160 ti = "13/6160/6160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6160/6160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6160 ÷ 213
    6160 ÷ 8192     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6160 ÷ 213
    6160 ÷ 8192     		y = 0.751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751953125 × 2 - 1) × π
    -0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58306817305273))-π/2
    2×atan(0.20534409946071)-π/2
    2×0.202528796403796-π/2
    0.405057592807592-1.57079632675     		φ = -1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6160 KachelY 6160 1.58306817 -1.16573873 90.703125 -66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 6161 KachelY 6160 1.58383516 -1.16573873 90.747070 -66.791909
    Unten links KachelX 6160 KachelY + 1 6161 1.58306817 -1.16604088 90.703125 -66.809221
    Unten rechts KachelX + 1 6161 KachelY + 1 6161 1.58383516 -1.16604088 90.747070 -66.809221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16573873--1.16604088) × R
    0.000302150000000001 × 6371000     		dl = 1924.99765000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16573873--1.16604088) × R
    0.000302150000000001 × 6371000     		dr = 1924.99765000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.58383516) × cos(-1.16573873) × R
    0.000766990000000023 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 1925.62870350885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.58383516) × cos(-1.16604088) × R
    0.000766990000000023 × 0.39379397915358 × 6371000     		du = 1924.27163677642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16573873)-sin(-1.16604088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.39379397915358)×R²
    abs(1.58383516-1.58306817)×0.000277717915872999×R²
    0.000766990000000023×0.000277717915872999×6371000²
    0.000766990000000023×0.000277717915872999×40589641000000     		ar = 3705524.5820801m²