Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6161 / 10289
↖ ↑ ↗
← S 41.787697°
W 44.626465°		 ← 1 821.76 m → S 41.787697°
W 44.604492°		 →
↑
1 821.47 m
↓
↑
1 821.47 m
↓
S 41.804078°
W 44.626465°		 ← 1 821.29 m →
3 317 846 m²		 S 41.804078°
W 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376068115234375 y=0.628021240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376068115234375 × 214)
    floor (0.376068115234375 × 16384)
    floor (6161.5)     		tx = 6161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628021240234375 × 214)
    floor (0.628021240234375 × 16384)
    floor (10289.5)     		ty = 10289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6161 / 10289 ti = "14/6161/10289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6161/10289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6161 ÷ 214
    6161 ÷ 16384     		x = 0.37603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10289 ÷ 214
    10289 ÷ 16384     		y = 0.62799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37603759765625 × 2 - 1) × π
    -0.2479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77887875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.2559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.804189428026062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77887875} λ = -0.77887875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804189428026062))-π/2
    2×atan(0.447450470416606)-π/2
    2×0.420731713621097-π/2
    0.841463427242194-1.57079632675     		φ = -0.72933290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77887875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72933290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.787697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6161 KachelY 10289 -0.77887875 -0.72933290 -44.626465 -41.787697
    Oben rechts KachelX + 1 6162 KachelY 10289 -0.77849525 -0.72933290 -44.604492 -41.787697
    Unten links KachelX 6161 KachelY + 1 10290 -0.77887875 -0.72961880 -44.626465 -41.804078
    Unten rechts KachelX + 1 6162 KachelY + 1 10290 -0.77849525 -0.72961880 -44.604492 -41.804078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72933290--0.72961880) × R
    0.000285900000000061 × 6371000     		dl = 1821.46890000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72933290--0.72961880) × R
    0.000285900000000061 × 6371000     		dr = 1821.46890000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77887875--0.77849525) × cos(-0.72933290) × R
    0.000383499999999981 × 0.745619105235737 × 6371000     		do = 1821.75512901162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77887875--0.77849525) × cos(-0.72961880) × R
    0.000383499999999981 × 0.74542855890165 × 6371000     		du = 1821.28957125029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72933290)-sin(-0.72961880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745619105235737-0.74542855890165)×R²
    abs(-0.77849525--0.77887875)×0.000190546334087438×R²
    0.000383499999999981×0.000190546334087438×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190546334087438×40589641000000     		ar = 3317846.33401906m²