Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6161 / 2063
↖ ↑ ↗
← N 66.249163°
E 90.747070°		 ← 1 968.08 m → N 66.249163°
E 90.791015°		 →
↑
1 968.77 m
↓
↑
1 968.77 m
↓
N 66.231457°
E 90.747070°		 ← 1 969.47 m →
3 876 059 m²		 N 66.231457°
E 90.791015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75213623046875 y=0.25189208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75213623046875 × 213)
    floor (0.75213623046875 × 8192)
    floor (6161.5)     		tx = 6161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25189208984375 × 213)
    floor (0.25189208984375 × 8192)
    floor (2063.5)     		ty = 2063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6161 / 2063 ti = "13/6161/2063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6161/2063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6161 ÷ 213
    6161 ÷ 8192     		x = 0.7520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2063 ÷ 213
    2063 ÷ 8192     		y = 0.2518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7520751953125 × 2 - 1) × π
    0.504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58383516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2518310546875 × 2 - 1) × π
    0.496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.55929147084119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58383516} λ = 1.58383516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55929147084119))-π/2
    2×atan(4.75545067573845)-π/2
    2×1.36353117486191-π/2
    2.72706234972383-1.57079632675     		φ = 1.15626602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58383516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15626602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.249163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6161 KachelY 2063 1.58383516 1.15626602 90.747070 66.249163
    Oben rechts KachelX + 1 6162 KachelY 2063 1.58460215 1.15626602 90.791015 66.249163
    Unten links KachelX 6161 KachelY + 1 2064 1.58383516 1.15595700 90.747070 66.231457
    Unten rechts KachelX + 1 6162 KachelY + 1 2064 1.58460215 1.15595700 90.791015 66.231457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15626602-1.15595700) × R
    0.000309019999999993 × 6371000     		dl = 1968.76641999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15626602-1.15595700) × R
    0.000309019999999993 × 6371000     		dr = 1968.76641999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58383516-1.58460215) × cos(1.15626602) × R
    0.000766990000000023 × 0.402760062009607 × 6371000     		do = 1968.08434048999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58383516-1.58460215) × cos(1.15595700) × R
    0.000766990000000023 × 0.403042890509652 × 6371000     		du = 1969.46638005768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15626602)-sin(1.15595700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402760062009607-0.403042890509652)×R²
    abs(1.58460215-1.58383516)×0.000282828500045185×R²
    0.000766990000000023×0.000282828500045185×6371000²
    0.000766990000000023×0.000282828500045185×40589641000000     		ar = 3876058.84867216m²